Если функция f:ХàR,xÎR,дифференцируема в "xÎX,то на множестве X возникает функция f ¢:XàR,значение которой в точке xÎX равно производной f ¢ (x).Если же функция f ¢:XàR имеет производную (f ¢)¢:XàR на множестве x,то (f ¢)¢(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f ²(x) или . Если f ²(x) имеет производную (f ²(x))¢,то эта производная называется третьей производной функции f(x) или производной третьего порядка функции f(x) и обозначаются одним из символов f ²¢(x),f(3)(x),
Производная n -го порядка является производной от производной
(n -1) порядка, т.е.
f(n)=(f(n-1))/ (x)
Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у//,у///,у(4),…у(n),
Производные n-го порядка некоторых элементарных функций:
1. ( x)(n)= xlnnx ()
2. (sinx)(n)=
3. (xm)(n)=m(m-1)…(m-n+1)xm-n
4. (ex)(n)=ex
5. (cosx)(n)=
6. (lnx)(n)=
Если функции u=j(x) и v=y(x) имеют производные n-го порядка (n- кратно дифференцируемы),
(1)
Пример 1: Вычислить n -ю производную (n ³2) функции y=x2cosx.
Решение: полагая u=cosx и v=x2, найдем
|
|
u(n)=cos(x+nп/2), v'=2x, v''=2,v''''=v(4)=…=0.
Подставляя в формулу (1), получаем
y(n)=c0ncos(x+nп/2)x2+c1ncos(x+(n-1)п/2)2x+c2ncos(x+(n-2)п/2)2
Формула (1) называется формулой Лейбница.
Опр. Функция у называется заданной параметрически, если зависимость между у и х задана системой уравнений
,tÎT
Производные этой функции могут быть найдены по формулам:
Пример 2. Найти производные от функции y=y(x), заданной параметрически если x=acost, y=asint
Решение:
Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х-любое значение аргумента из указанной окрестности, х= а. Тогда между точками а и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:
Частный, простейший вид формулы Тейлора при а =0 принято называть формулой Маклорена:
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции у=1/х при а =-2.
Решение: вычисляем значения данной функции и ее производных при х= а =-2
Подставляя эти значения в формулу Тейлора для произвольной функции, получим
ВАРИАНТЫ.
1. Найти
2. Доказать, что функция у удовлетворяет соотношению:
3. Используя формулу Лейбница, найти:
4. Используя формулу Тейлора, разложить функцию y= f (x) по степеням (х-х );