Формула Тейлора

n.1. Формула Тейлора для многочлена.

Глава 1 Рассмотрим некоторый многочлен степени с вещественными коэффициентами:

Глава 2

Глава 3 (1)

Зададим произвольное вещественное число и в правой части равенства (1) представим в виде :

Раскрыв здесь квадратные скобки и приведя подобные члены при одинаковых степенях , в результате получим разложение многочлена (1) по степеням :

,

(2)

где - постоянные, зависящие от исходных коэффициентов и от числа .

При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

................................

................................

.

Полагая в каждом из этих равенств получим

.........

.........

Если кроме того положить в (2), то считая, как обычно, и будем также иметь

Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы

,

(3)

В итоге заключаем, что разложение (2) можно записать в виде (4):

(4)

Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням для многочлена степени . Из вывода этой формулы следует, что разложение многочлена по степеням является единственным, так как коэффициенты любого такого разложения однозначно определяются по формулам (3).

Формулу Тейлора по степеням для многочлена , то есть формулу

называют также формулой Маклорена.

n.2. Локальная формула Тейлора.

Пусть функция раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность точки , в которой определена сама функция и существуют конечные производные

при этом в точке существует также конечная производная . Поэтому, в частности, определен многочлен

,

называемый (-ым) многочленом Тейлора функции в точке .

Положим

Тогда

Эта формула или, в более явном виде, формула

(1)

называется формулой Тейлора функции в точке , а функция - остаточным членом формулы Тейлора.

Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде

(при )

(2)

Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу

(3)

называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.

Лемма 1. Пусть функция раз дифференцируема в точке и

.

(4)

Тогда

.

(5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение леммы по индукции.

При в силу дифференцируемости функции в точке имеем

А так как по условию (4)

,

то это означает, что

таким образом, при утверждение леммы справедливо.

Предположим, что оно справедливо при , и покажем, что тогда оно справедливо и при .

Действительно, поскольку , то функция имеет в некоторой окрестности производную , и по условию (4) (для )

Тогда по индукционному предположению

(6)

Далее, так как функция раз дифференцируема в точке и , то для любой точки из окрестности , в которой существует конечные производные

,

Имеет место и формула конечных приращений Лагранжа

,

(7)

где точка лежит между точками и . (Рекомендуется проверить, что на отрезке с концами в точках и функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа).

Поскольку по условию , то из формул (6) и (7) следует, что

Полагая здесь

будем иметь

Поэтому равенство (5) при будет доказано, если будет показано, что

(8)

Действительно, так как точка лежит между точками и , то

(9)

и, следовательно,

(10)

Остаётся заметить, что в силу (8) при и, значит,

Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8) 

Теорема 1. Если функция раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция

Удовлетворяет условиям леммы 1 

Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция имеет в точке конечные производные до порядка включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).

n^о3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши и в форме Лагранжа.

Теорема 2. Пусть на отрезке с концами в точках и функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует точка , лежащая между точками и , такая, что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде

.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке с концами в точках и рассмотрим функцию переменной :

,

где

.

Из условий теоремы и определения функции следует, что она непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. По условию теоремы функция обладает теми же свойствами.

Таким образом, функции и на отрезке I удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.

По этой теореме между точками и найдется такая точка , что

(2)

Поскольку

,

(3)

то нетрудно видеть, что

.

(4)

К тому же, как следует из (3),

(5)

и

(6)

Из формулы (2), (4) – (6) имеем

В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы

(- внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1).

Следствие. Если на отрезке с концами в точках и функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора

(7)

может быть записан, как в форме Коши:

,

(8)

так и в форме Лагранжа:

(9)

(здесь лежит между точками и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить

В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить

Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции можно записать как в виде

(10)

(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа),

так и в виде

(11)

(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши).

n^о4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.

Если , то формула Тейлора функции имеет особенно простой вид:

(1)

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

,

,

и

Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

. Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема ).

Как известно

Поэтому формула Маклорена функции имеет вид ():

где остаточный член можно записать в любой из форм:

(в форме Пеано)

(в форме Лагранжа)

и

(в форме Коши),

где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками и .

. Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и

,

то

;

и, следовательно,

При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид:

,

соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

(2)

а остаточный член в форме Коши имеет вид:

(3)

Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член в форме Лагранжа в общем случае имеет вид:

а затем убедиться в том, что для функции имеют место равенства

. Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь

,

то

Поэтому имеем,

при этом остаточный член имеет вид:

(в форме Пеано);

(в форме Лагранжа);

(в форме Коши).

Приведем без доказательства еще несколько разложений по формуле Маклорена:

.

.

.