1. Знайти координати фокуса і записати рівняння директриси для поданих парабол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що:
а) парабола має фокус і вершину ;
б) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точки і ;
в) парабола симетрична відносно осі ординат і проходить через точки і
3. Рівняння директриси параболи . Скласти канонічне рівняння цієї параболи, якщо її вершина в точці . Знайти координати фокуса.
4. На параболі взята точка А(х,у), яка знаходиться від директриси на відстані . Знайти відстань цієї точки від вершини параболи.
5. Знайти фокальний радіус точки В параболи , якщо її абсциса дорівнює 8.
6. Знайти точки перетину параболи з прямими: а) ; б) ; в) .
7. Знайти координати вершини і фокуса, скласти рівняння осі і директриси кожної із поданих парабол: а) ; б) ; в) ; г) .
8. Вісь симетрії параболи паралельна осі ординат, а рівняння директриси . Скласти рівняння параболи, якщо вона перетинає вісь ОХ в точках (-5, 0) і (11, 0).
9. Через фокус параболи проведені дві прямі, одна з яких складає з віссю ОХ кут , а друга - . Точки перетину цих прямих з параболою послідовно з’єднані між собою. Знайти площу утвореного чотирикутника.
|
|
10. Діаметр кругової параболічної антени 60см, глибина її 7,5. На якій відстані від вершини параболи необхідно поставити уловлювач сигналів, щоб відбиті сигнали від супутника перетинались у цій точці (вважається, що сигнали, які напрямлені на антену від супутника йдуть паралельно осі антени).
11. Тіло, кинуте під кутом до горизонту, описало дугу параболи і упало на відстані 32м від початкового положення. Знайти параметр параболічної траєкторії та записати рівняння, якщо найбільша висота досягнута тілом, дорівнює 12м.
Відповіді: 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. а) ; б) ; в) .
3. . 4. . 5. 14.
6. а) ; б) ; в) . 7. а) ; б) ; в) ; г) . 8. або . 9. . 10. 30. 11.
Конічні перетини
Нехай задана кругова конічна поверхня, необмежена в обидві сторони від вершини. Внаслідок різних перетинів цієї поверхні і площини можна отримати криві другого порядку (див. рис. 30).
Рис. 30.
1. Якщо площина - осі конічної поверхні, але не проходить через її вершину, то в перетині буде коло .
2. Площина - одній з твірних, тоді в перетині матимемо параболу .
3. Площина перетинає конічну поверхню під кутом до її осі , але жодній з твірних, тоді в перетині буде еліпс .
4. , в перетині - гіпербола .
Вироджені випадки:
5. і проходить через вершину конічної поверхні, в перетині є точка .
6. Площина проходить через вісь , в перетині пара прямих, що перетинаються, наприклад, і .
Першим, хто розглядав криві другого порядку, як конічні перетини був древньогрецький математик Аполлоній (прибл. 262 – 190 роки до н.е.). Його праця “Конічні перетини” мала великий вплив на розвиток науки нових часів – астрономії, механіки, оптики; із його положень виходили французькі математики Р.Декарт (1596 – 1650) і П.Ферма (1601 – 1665) при створенні аналітичної геометрії.
|
|