Интерполяционный тригонометрический полином

В некоторых случаях целесообразно использовать другие виды интерполяций. Например, если функция x(t) периодическая, то в качестве интерполирущего многочлена можно взять тригонометрический интерполяционный полином порядка n. Если в качестве системы линейно независимых функций {j_k(t)} взять систему функций

1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, …, cos nt, sin nt,

то интерполяционный тригонометрический полином имеет вид

.

Для нахождения используют дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его гомоморфизмы применяются в сжатии звука в mp3, сжатие изображений в jpg и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Также дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трехмерные.

Последовательность N действительных чисел x ₀,..., x_{N −1} преобразовывается в последовательность из N комплексных чисел X ₀,..., X_{N −1} с помощью дискретного преобразования Фурье по формуле:

где i - это мнимая единица. Обратное дискретное преобразование Фурье задается формулой

Поскольку напрямую вычисления дискретного преобразования требует O (N ²) операций, то на практике используют более быстрый алгоритм быстрого преобразования Фурье, которое требует O (N log N) операций.

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчетов в вектор спектральных отсчетов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:

.

матрица А имеет вид:

Свойства

1) линейность

2) сдвиг по времени

3) периодичность

4) выполняется теорема Парсеваля.

5) симметрии X (k) = X ^* (N − k).

Таким образом информацию несут первые N/2 гармоник.

6) обладает спектральной плотностью S (k)=| x (k)|²

7)

В случае четного числа n, из свойства 5,7 следует

Переходим от дискретных значений n к непрерывному аргументу t, таким образом, чтобы выполнялось равенство t_n=nh, при n=0,..,N-1, где h – шаг дискретизации. Формула в случае четного числа узлов для интерполяционного тригонометрического полинома запишется

Аналогичным образом можно получить формулу для интерполяционного тригонометрического полинома в случае нечетного числа узлов, которая запишется следующим образом: