Класифікація простих задач

№	Тип задачі	Вид задачі	Схематичний рисунок
	Співвідно-шення додавання Слова-ознаки співвідно-шення „всього” або його синоніми (або „було” – „стало”). Головний член співвідно-шення А той, в опис якого входить слово-ознака „всього” або „стало” (це ціле). Головний член дорівнює сумі інших членів співвідно-шення. Інші члени знаходять за правилом знаходження невідомого компонента.	1. Задачі на знаходження суми двох доданків 1 ) У Наталки 7 зошитів у лінійку та 3 зошити у клітинку. Скільки всього зошитів в Наталки? 2) У Наталки було 4 зошити, мама їй купила 5 зошитів. Скільки зошитів стало в Наталки? 2. Задачі на знаходження невідомого доданка 1 ) У Наталки всього 10 зошитів, з них 7 зошитів у лінійку. Скільки зошитів у клітинку в Наталки? 2) У Наталки було 4 зошити, після того як мама їй купила кілька зошитів, в неї стало 9 зошитів. Скільки зошитів купила мама? 3. Задачі на знаходження суми трьох доданків В Іринки 3 зошити, у Сашка 2 зошита, в Миколи 4 зошити. Скільки всього зошитів у дітей? 4. Задачі на знаходження третього числа за сумою двох даних чисел В Іринки 3 зошити, у Сашка 2 зошити, а в Миколи стільки зошитів, скільки в Сашка та Іринки разом. Скільки зошитів у Миколи?	К В ? К? А К В С ? К В ?
	Співвідно-шення віднімання Слова-ознаки співвідно-шення „було” - „за-лишилося”. Головним членом А є той, в опис якого входить слово-ознака „залишило-ся”, він є різницею двох інших членів співвідно-шення К і В, де К той член, в опис якого входить слово-ознака „було”.	1. Задачі на знаходження остачі. В Наталки було 7 зошитів, вона витратила 3 зошити. Скільки зошитів залишилося в Наталки? 2. Задачі на знаходження невідомого зменшуваного. Після того, як Наталка витратила 3 зошити, в неї залишилося 4 зошити. Скільки зошитів було в Наталки? 3. Задачі на знаходження невідомого від’ємника. У Наталки було 7 зошитів, після того, як вона витратила кілька зошитів, у неї залишилося 4 зошити. Скільки зошитів витратила Наталка?	К   В? ? В А К ? А
	Співвідно-шення різницевого порівняння Слова-ознаки співвідно-шення „ на... менше (більше)”. Головний член співвідно-шення А той, в описі якого стоїть слово-ознака – прийменник „на”, цей член є різницею двох значень К і В однієї й тієї самої величини, що порівнюються, де К > В.	1. Задачі на різницеве порівняння. У Наталки 6 зошитів у клітинку та 4 зошити в лінійку. На скільки більше зошитів у клітинку, ніж у лінійку в Наталки? На скільки меншезошитів у лінійку, ніж у клітинку? 2. Задачі на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць. У Наталки 4 зошити в лінійку, а в клітинку на 2 зошити більше. Скільки зошитів у клітинку в Наталки? У Наталки 6 зошитів у клітинку, а в лінійку на 2 зошити менше. Скільки зошитів у лінійку в Наталки?	В ?   К     В   Стільки ж та А   ?     Б   Стільки ж без А ?
	Співвідно-шення переходу від більшої одиниці лічби або вимірюван-ня до меншої. Ознакою цього виду співвідно-шення є те, що один і той самий об’єкт перерахова-ний або виміряний двома різними одиницями (мірками) – більшою і меншою і вказано, що кожна більша одиниця містить по В дрібних одиниць. Головним членом А співвідно-шення є результат лічби або вимірюван-ня об’єкта дрібними одиницями.	1. Задачі на конкретний зміст добутку. Скільки олівців у 3 коробках, якщо в кожній по6 олівців?	В ...   К разів   ?
	Співвідно-шення розбиття цілого на рівні частини. Ознакою цього виду співвідно-шення є те, що К розбито на А рівних частин, в кожній з яких „по” В одиниць. Головним членом співвідно-шення є А – результат розбиття К на частини по В одиниць в кожній.	1. Задачі на конкретний зміст дії ділення: - ділення на рівні частини; Риску довжиною 15 дм розрізали на 5 рівних частин. Яка довжина кожної частини? - ділення на вміщення. Риску довжиною 15 дм розрізали по 3 дм. Скільки одержали таких частин?	К ...   А разів ? або К ? А К ...   ? разів В Або К В ?
	Співвідно-шення кратного порівняння Слова-ознаки співвідно-шення „ у...більше (менше)”, Головний член А співвідно-шення той, в опис якого входить вираз „разів”, він є результатом кратного порівняння (відношен-ня) двох значень К і В однієї й тієї самої величини, при чому К > В.	1. Задачі на кратне порівняння. В Іринки 8 зошитів у клітинку і 4 зошити в лінійку. У скільки разів більше зошитів у клітинку, ніж у лінійку в Іринки? У Скільки разів менше зошитів у лінійку, ніж у клітинку? 2. Задачі на збільшення або зменшення числа в кілька разів. В Іринки 4 зошити в лінійку, а в клітинку в 2 рази більше. Скільки зошитів у клітинку в Іринки? В Іринки 8 зошитів у клітинку, а в лінійку в 2 рази менше. Скільки зошитів у лінійку в Іринки?	К ...   скільки разів? В Або К В ?   В у А разів більше   ...   ? або ? В А
	Співвідно-шення частин і цілого Слова-ознаки співвідно-шення: „складає... частину... від”. Головний член А співвідно-шення той, у завдання якого входить слово-ознака „частина”, він є результатом ділення членів К і В на значення однієї і тієї самої величини, при цьому К<В.	1. Задачі на знаходження частини від числа. Тато посадив 12 дерев, а Сашко від того, що посадив тато. Скільки дерев посадив Сашко?     2. Задачі на знаходження числа за його частиною. Сашко посадив 3 дерева, що складає від того, що посадив тато. Скільки дерев посадив тато?   3. Задачі на знаходження дробу, який одне число становить від іншого. Тато посадив 12 дерев, а Сашко 3. Яку частину дерев посадив Сашко відтих дерев, що посадив тато?	Б ...   А частин ? або 1 - Б   ? ...   А частин В або 1 -?   К В
	Співвідно-шення -залежність між значеннями різних величин. Ознака співвідно-шення – явне завдання в умові задачі двох різних величин, які, як відомо, пов’язані якоюсь функціона-льною залежністю. Головним членом А цього співвідно-шення є загальна величина	1. Задачі на знаходження значення загальної величини (вартості, загальної довжини, загального об’єму, загальної маси, загального виробітку, відстані, площі прямокутника тощо) Скільки всього кілограмів помідорів у 3-х ящиках, якщо в кожному ящику по 8 кг помідорів? 2. Задачі на знаходження величини однієї одиниці лічби або вимірювання (ціни, довжини 1-го відрізка, об’єму 1-ої посудини, маси 1-го предмету, продуктивності праці, швидкості тощо) В 3 ящиках 24 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів у одному такому ящику?   3. Задачі на знаходження кількості (куплених речей, відрізків, посудин, предметів) або часу (роботи, руху). У ларьок привезли 24 кг помідорів у ящиках по 8 кг у кожному. Скільки ящиків з помідорами привезли в ларьок?	? К ...   В       А ? ...   В   А К ...   ?

Подані види задач пропонуються протягом чотирьох перших років навчання. Природно, що найбільша кількість нових видів простих задач припадає на перші два роки навчання. У подальшому навчанні береться до уваги, що вміння розв’язувати прості задачі вже сформовано і на перший план виступає формування вміння розв’язувати складені задачі.

Під складеною задачею розуміють таку задачу, на запитання якої не можна відповісти відразу, виконавши одну арифметичну дію; для розв’язання складеної задачі треба виконати дві і більше арифметичні дії.

Для класифікації складених задач немає єдиної основи, тому їх можна поділити на дві групи. До першої групи відносяться складені задачі, які містять різноманітні поєднання відомих видів простих задач, крім співвідношення залежності між значеннями різних величин. Ці задачі можна записати коротко схематично, причому на цьому короткому записі майже завжди можна виділити складові прості задачі.

До другої групи відносяться задачі, в яких явища, що описуються, характеризуються кількома взаємопов’язаними величинами, тобто містять співвідношення залежності між значеннями різних величин. Короткий запис таких задач доцільніше подавати у формі таблиці.

Складені задачі першої групи можна класифікувати за назвою простої задачі, що має розв’язуватися останньою. Отже, існують такі види складених задач: задачі на знаходження остачі (різниці); задачі на знаходження суми; задачі на знаходження невідомого доданка; задачі на знаходження невідомого зменшуваного; задачі на знаходження невідомого від’ємника; задачі на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць; задачі на різницеве порівняння; задачі на знаходження добутку; задачі на знаходження частки; задачі на збільшення або зменшення числа в кілька разів; задачі на кратне порівняння; задачі на знаходження дробу від числа; задачі на знаходження числа за його дробом.

Другу групу складених задач (задачі, що містять пропорційні величини) доцільно розділити на дві підгрупи:

1) задачі, що містять знаходження суми, різницеве чи кратне порівняння: на знаходження суми двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на знаходження суми двох добутків (часток); на різницеве порівняння двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на різницеве порівняння двох добутків (часток); задачі на кратне порівняння двох добутків (часток); задачі, обернені до задач на кратне порівняння двох добутків (часток); задачі, які містять різницеве (кратне) відношення;

2) „типові” задачі:

- задачі, що містять однакову (сталу) величину (задачі на знаходження четвертого пропорційного, задачі на пропорційне ділення, задачі на знаходження невідомих за двома різницями, задачі на подвійне зведення до одиниці);

- задачі на процеси (задачі на спільну роботу, задачі на рух).

Розв’язування задачі є складним процесом розумової діяльності людини, який спрямований на перетворення об’єкта, що описаний у змісті задачі, на вирішення суперечності між умовою та вимогою задачі. Здебільшого методисти визначають чотири етапи процесу розв’язування як простої, так і складеної сюжетної задачі:

1) ознайомлення з задачею, аналіз тексту задачі;

2) пошук розв’язування задачі;

3) реалізація плану розв’язування задачі; запис розв’язання і відповіді;

4) робота над задачею після її розв’язання.

Діяльність з розв’язування задач може здійснюватися як алгоритмічним, так і евристичним способом. Якщо учень виконує приписи, то в цьому випадку здійснюється алгоритмічний спосіб діяльності з розв’язування задач, який характеризується тим, що учень здійснює власну діяльність у відповідності з відомим йому алгоритмом.Якщо, розпочинаючи розв’язання математичної задачі, учень не має орієнтувальної основи для своїх дій, то він її відшукує, виконуючи евристичну діяльність. Така діяльність здійснюється за допомогою особливих прийомів – евристик.

Вченими доведено, що домінуючою евристикою при розв’язуванні задач є моделювання як задачної ситуації (побудову допоміжних моделей – предметних, схематичних, словесних), так і процесу її розв’язування (схеми аналітичного і синтетичного розбору задачі, „дерева міркувань”), тому що саме воно забезпечує необхідне орієнтування в задачній ситуації.

Незалежно від способу (алгоритмічного чи евристичного) діяльність учнів із розв’язування задач являє собою реалізацію основних етапів щодо виконання певних дій. Перш ніж розглядати дії, за допомогою яких реалізуються етапи розв’язування задачі, необхідно акцентувати увагу на правильному розумінні таких висловлювань:

розв'язати задачу — означає встановити (розкрити, відшукати, побачити, пояснити) зв'язки між даними і шуканим числами, на основі чого дібрати потрібні арифметичні дії та їх порядок виконання, знайти ре­зультати дій, а потім відповісти на запитання задачі. Відповідь задачі не відгадується, а знаходиться при ви­конанні потрібних дій (операцій). Для знаходження шуканого числа треба вміти пояснити (розказати), які дії і над якими числами варто виконати, в якому поряд­ку і чому саме такі відповіді на запитання задачі;

розв'язування задачі – це процес, робота, яка включає ознайомлення з текстом задачі, роздуми (міркування) над її розв'язанням, запис чи форму­лювання дій та відповідей.

розв'язання задачі – це запис (формулювання) порядку арифметичних дій, за допомогою яких зна­ходиться відповідь до задачі.

розв'язок – відповідь на запитання задачі (а ще розв'язком називають числове значення шуканої ве­личини).

1.Ознайомлення з задачею. Аналіз тексту задачі.

Ознайомитися – це означає, прочитавши формулювання задачі, уявити собі життєву ситуацію, яка відображена в ній. Проаналізувати текст задачі – це означає виділити умову і запитання; визначити величини, що входять до задачі (дані та шукані), встановити зв’язки між ними.

Наприклад:

1.Біля ставка росло 9 верб, 2 осики, а вільх стільки, скільки верб і осик разом. Скільки вільх росло біля ставка?

І. Ознайомлення з умовою задачі. Аналіз умови.

- Прочитай задачу та уяви, про що в ній розповідається. Про що розповідається в задачі? (У задачі розповідається про верби, осики та вільхи. Росло 9 верб, 2 осики, а вільх стільки, скільки верб і осик разом. Запитується: скільки росло вільх?)

- Розкажи задачу. Розкажи умову. Розкажи запитання. Виділи числові дані. Що вони означають? (Число 9 означає, що росло 9 верб; число 2 означає, що росло 2 осики.) Яке число є шуканим? (Шуканим є число вільх.)

- Виділи ключові слова та склади короткий запис задачі. (Ключові слова: верби, осики, вільхи.) Чи відомо нам, скільки росло верб? (Відомо – 9) Запишемо це поряд з словом “Верби”. Чи знаємо ми із умови, скільки росло осик? (Знаємо – 2) Запишемо це поряд з словом “Осики”. Чи відомо, скільки було вільх? (Ні, невідомо.) А що нам відомо із умови задачі про вільхи? (Вільх було стільки, скільки верб і осик разом.) Як це позначимо в короткому запису? (Якщо говориться “разом”, то це позначаємо фігурною дужкою, тобто те, що стосується верб і осик слід об'єднати фігурною дужкою і посередині записати, що це число дорівнює числу вільх). Тому короткий запис буде такий:

Верби – 9 шт.

Вільхи –?

Осики – 2 шт.

- За коротким записом поясни числові дані задачі та запитання. Що позначає число 9? (Число 9 позначає, скільки росло верб.) Що позначає число 2? (Число 2 позначає, скільки росло осик.) Що позначає фігурна дужка і поряд слово „вільхи”? (Фігурна дужка позначає, що вільх стільки, скільки верб і осик разом.) Яке запитання задачі?(Скільки росло вільх?)

- Яким співвідношенням пов’язані числа в задачі? (В задачі є слово-ознака „всього”, тому тут задано співвідношення об’єднання частин у ціле – співвідношення додавання. Проміжним невідомим є сума, яку знаходять дією додавання. Крім того, вільх стільки, скільки верб і осик разом, тому тут є ще співвідношення рівності.)

Зробимо схематичний малюнок. Скільки верб росло біля ставка? Як показати, що біля ставка росло 9 верб? Скільки осик росло? Як це показати: треба об'єднувати чи виключати? Скільки вільх росло біля ставка? (Стільки ж, скільки верб і осик разом.) Як це показати на схемі? (Треба нижче накреслити відрізок такої ж довжини, що й відрізок, який показує скільки верб і осик разом.)

ІІ. Пошук розв’язування задачі

Пошук розв’язування задачі арифметичним способом може здійснюватися від запитання задачі до числових даних, тобто аналітично, або від числових даних задачі до її запитання – синтетично.

У практиці навчання застосовуються обидва шляхи, але переваги належать синтетичному методу, оскільки аналітичний у чистому вигляді більш складний для учнів. Синтетичний метод для дітей простіший, але застосування його може створювати додаткові проблеми; аналітичний - більш цілеспрямований щодо складання плану розв'язування задачі, тут треба мати на увазі не одну якусь дію, а хід міркування в цілому.

С.Є. Царьова розглядає пошук розв’язування задачі не лише як міркування „від запитання задачі до числових даних” або „від числових даних до запитання”, а й як знаходження різних шляхів розв’язування задачі: пошук за предметною або графічною моделлю (цей спосіб реалізується в системі розвивального навчання Д.Б. Ельконіна та В.В. Давидова), пошук за допомогою відокремлення словесного завдання математичних відношень і перекладу їх на мову виразів (створення структурних моделей за Л.М. Фрідманом).

Для складених задач пошук розв’язування задачі завершується складанням плану розв’язування, в якому обговорюється, про що треба дізнатися першою дією, другою дією, і так далі…

Бесіда, наприклад, матиме такий зміст.

- Повтори запитання задачі. Що потрібно знати, щоб на нього відповісти? (Потрібно знати: І – що вільх було стільки, скільки верб і осик разом, та ІІ – скільки верб і осик разом (поки не знаємо).) Тут дія не виконується, але здійснюється логічний перехід до запитання “Скільки верб і осик разом?” Що потрібно знати, щоб на нього відповісти? (Потрібно знати два числових значення: І – скільки верб (9) та ІІ – скільки осик (2).)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? (Відповімо дією додавання.)

Обравши той або інший метод чи спосіб розв’язування сюжетної задачі, потрібно скласти для неї відповідну розв’язуючу математичну модель. Це означає, що якщо обрано арифметичний спосіб розв’язування, то модель будується у вигляді обчислювальної формули або послідовності виконання арифметичних дій (план розв’язування).

ІІІ. Здійснення плану розв’язування задачі. Запис розв’язання і відповіді.

Далі здійснюється власне розв’язання: знаходження результатів кожної з намічених арифметичних дій та встановлення змісту отриманого числа або знаходження значення числового (числових) виразу (виразів) при арифметичному способі розв’язування задачі. Таким чином, відбувається третій етап процесу роботи над задачею.

Наприклад: ІІІ. Запис розв’язання і відповіді

Запиши розв'язання задачі. (Розв'язання: 9+2=11 (шт.) – стільки ж вільх.)

Запиши відповідь. (Відповідь: 11 вільх росло.)

ІУ. Робота над задачею після її розв’язання

Робота над задачею після її розв’язання полягає в перевірці правильності розв’язку. Перевірка розв’язання сюжетних задач може бути прямою або непрямою, у свою чергу кожна з них може бути повною або неповною. Пряма повна перевірка розв’язання задачі полягає в тому, щоб впевнитися у виконанні всіх умов задачі при знайденому (знайдених) значенні шуканого. Неповна перевірка полягає в тому, що перевіряються не всі умови, а лише деякі.

Непряма перевірка проводиться за допомогою складання і розв’язування оберненої задачі. Обернена задача складається шляхом обміну ролями одного з шуканих з якимось із даних, тобто знайдене значення одного з шуканих приймають за дане, а інше з даних вважають шуканим. Якщо в результаті розв’язання оберненої задачі отримують значення, що збігається з обраним даним, то це свідчить, що задача розв’язана правильно.

Непряму перевірку можна здійснити, розв’язавши задачу іншим способом. Якщо задачу можна розв’язати іншим способом, то отримання однакових результатів підтверджує, що задача розв’язана правильно.

Цікавий підхід до відшукування різних арифметичних способів розв’язування задачі запропоновано А.К. Артьомовим. Цей підхід передбачає переформулювання запитання задачі; добір допоміжного запитання; виявлення прихованих логічних основ задачі; наочне оформлення задачі.

У початкових класах застосовуються такі способи прямої перевірки правильності розв’язання:

Встановлення відповідності між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі, і даними числами. При перевірці розв’язання задачі таким способом виконуються арифметичні дії над числом, яке було отримане у відповіді на запитання задачі (якщо при цьому отримаємо число, що дано в умові, тоді задача розв’язана правильно). Наприклад, розв’язується задача: „Мама купила по однаковій ціні 3 кг яблук та 2 кг груш. За всю покупку вона заплатила 15 гривень. Скільки окремо коштують яблука та окремо коштують груші?”. Отримуємо відповідь, що яблука коштують 9 гривень, а груші – 6 гривень. Додавши отримані числа (9 + 6 = 15 гривень), маємо число, яке дано в умові задачі. Отже, задачу розв’язано правильно.

Орієнтовна оцінка відповіді (встановлення відповідності шуканого числа області своїх значень). Цей спосіб полягає в тому, що до початку розв’язання задачі встановлюється область значень шуканого числа, тобто визначається більшим або меншим якогось із даних чисел повинно бути шукане число. Після розв’язання задачі перевіряється, чи відповідає отриманий результат встановленій області значень (тоді задачу, можливо, розв’язано правильно), чи ні (тоді розв’язання неправильне)). Цей засіб допомагає виявити помилковість розв’язання і має поєднуватися з іншими способами перевірки.

Виявлення недоліків проведеного розв’язання, пошуки кращого розв’язання, встановлення і закріплення в пам’яті учнів тих прийомів і способів, які були застосовані в даному розв’язанні, виявлення умов можливості застосування цих прийомів і способів – усе це й сприяє перетворенню розв’язування задачі в могутній навчальний та виховуючий засіб. При обговоренні проведеного розв’язання корисно у деяких випадках встановити можливість узагальнення даної задачі, виявити її особливості, зіставити розв’язання даної задачі з раніш розв’язаними тощо.

Розглянемо ще один приклад – роботу над складеною задачею. (Зазначимо, що ця задача пропонується ще до ознайомлення із типовими задачами на спільну роботу.)

2. Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок, а її учениця - 17 мішків. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години?”

І.Ознайомлення з умовою задачі. Аналіз умови.

- Прочитайте задачу та уявіть, про що в ній говориться. Про що розповідається в задачі? (У задачі розповідається про мішки, які шиє кравчиня і її учениця. У задачі говориться, скільки мішків шиє за годину кравчиня і її учениця окремо, а запитується, скільки мішків пошиють кравчиня і її учениця за 2 години разом.) Запитання передбачає, що кравчиня і її учениця працювали 2 години.

– Розкажіть всю задачу. Розкажіть умову. Розкажіть запитання. Виділіть і поясніть числові дані задачі. Яке число є шуканим?

Запишемо задачу коротко, для цього виділімо ключові слова. Які ключові слова можна виділити? (Кравчиня, учениця.) Запишемо їх у стовпчик. Чи відомо скільки мішків пошила кравчиня за 2 години? (Ні, не відомо, але ми знаємо, що за годину вона пошила 24 мішки, тому за 2 години кравчиня всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази.) Запишемо це, замість виразу “стільки, скільки” у короткому запису поставимо дві стрілочки. Чи відомо скільки мішків пошиє учениця за дві години? (Ні, не відомо, але ми знаємо, що вона шиє за одну годину 17 мішків, тому за 2 години вона всього пошиє стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 мішків взяти 2 рази.) Запишемо це, позначаючи вираз “стільки, скільки” двома стрілочками. Яке запитання задачі? Як його позначити на короткому запису? (У задачі запитується, скільки всього пошили мішків за 2 години кравчиня і учениця разом. Тому, що в задачі запитується, скільки мішків пошили разом кравчиня і учениця, слід поставити фігурну дужку із знаком запитання.)

- За коротким записом поясніть числові дані задачі. (Число 24 означає кількість мішків, що шиє кравчиня за 1 годину. Число 2 позначає, скільки годин працювала кравчиня. Дві стрілочки означають, що кравчиня пошила всього мішків стільки, скільки буде, якщо по 24 мішки взяти 2 рази. Число 17 означає, скільки мішків шиє учениця. Число 2 означає, скільки годин працювала учениця. Дві стрілочки позначають, що учениця всього пошила стільки мішків, скільки буде, якщо по 17 взяти 2 рази. Фігурна дужка означає, скільки мішків всього пошили за дві години кравчиня й учениця разом.)

– Які співвідношення задані в задачі? (У задачі є два співвідношення переходу від меншої одиниці вимірювання до більшої (множення) та одне співвідношення додавання.)

Зазначимо, що співвідношення, що задані в задачі можна трактувати як співвідношення залежності між значеннями пропорційних величин (загальний виробіток, продуктивність праці і час роботи, причому невідомими є значення загальної величини).

?

17

??

2

???

24

ІІ. Пошук розв’язування задачі

- Яке запитання задачі? (Скільки мішків пошиють разом кравчиня і учениця за дві години?) Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: І – скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня – невідомо та ІІ – скільки всього мішків за 2 години пошиє учениця – невідомо.) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією додавання.)

– Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки всього мішків пошиє кравчиня, і не знаємо, скільки всього мішків пошиє учениця.)

– Що треба знати, щоб відповісти на запитання “Скільки всього мішків за 2 години пошиє кравчиня? (Треба знати два числові значення: І – скільки мішків шиє кравчиня за 1 годину, відомо – 24, та ІІ – скільки разів слід взяти по 24,тобто скільки годин вона працювала, відомо – 2.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення, тому що по 24 взято 2 рази.)

– Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що ми знаємо обидва числові значення.)

– Чи закінчено аналіз? (Ні, бо ми поки що не можемо відповісти на запитання задачі.) Чому ми поки що не можемо відповісти на запитання задачі? (Тому, що ми не знаємо, скільки всього мішків за 2 години шиє учениця.)

– Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? (Треба знати два числові значення: І – скільки мішків шиє учениця за 1 годину, відомо – 17, та ІІ – скільки разів слід взяти по 17, тобто скільки годин працювала учениця, відомо – 2.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення, тому що по 17 взято 2 рази.)

– Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що ми знаємо обидва числові значення.) Тепер ми можемо відповісти на запитання задачі? (Можемо, тому що ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.)

- Розіб'ємо цю задачу на прості. Як ви вважаєте, скільки буде простих задач? (Буде три прості задачі, тому що на схемі три запитання.) Покажемо на схемі кожну просту задачу. Сформулюйте кожну просту задачу та покажіть опорні схеми до них. (1-ша проста задача: “Кравчиня за годину шиє 24 мішки для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 години?” 2-га проста задача: “Учениця за годину шиє 17 мішків для посилок. Скільки мішків для посилок вона пошиє за 2 години?”. 3-тя проста задача: “Кравчиня шиє за 2 години 48 мішків для посилок, а учениця за 2 години шиє 34 мішки для посилок. Скільки мішків для посилок пошиють разом кравчиня й учениця за 2 години?”.)

– Якщо задача складається із трьох простих задач, тоді план розв'язування буде складатися із трьох дій. Про що ми дізнаємося першою дією? (Першою дією ми відповімо на запитання першої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє кравчиня за 2 години.) Про що ми дізнаємося другою дією? (Другою дією ми відповімо на запитання другої простої задачі, тому ми дізнаємося, скільки мішків пошиє учениця за 2 години.) Про що ми дізнаємося третьою дією? (Третьою дією ми відповімо на запитання третьої простої задачі і дізнаємося, скільки мішків пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.)

ІІІ. Запис розв’язання і відповіді

Запишемо розв'язання:

1) 24 × 2 = 48 (м.) пошиє кравчиня за 2 год.

2) 17 × 2 = 34 (м.) пошиє учениця за 2 год.

3) 48 + 34 = 82 (м.) пошиють разом кравчиня і учениця за 2 год.

Запишемо відповідь. (Відповідь: 82 мішки пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.)

ІУ. Робота над задачею після її розв’язання

Або знаходження іншого способу розв’язування спря- мовується додатко-вим запитанням:

– Розв’яжіть задачу іншим способом. Що означає відрізок, що позначений дужкою з числом 24? Що означає відрізок, що позначений дужкою з числом 17? Що означає відрізок, який є об’єднанням цих відрізків?

17 17 24

?

24?

Скільки мішків пошиють кравчиня і учениця за 1 годину?

Запишемо розв'язання:

1) 24 + 17 = 41 (м.) – пошиють кравчиня і учениця за 1 год.

2) 41 ∙ 2 = 82 (м.) – пошиють разом кравчиня і учениця за 2 год.

Відповідь: 82 мішки пошиють разом кравчиня і учениця за 2 години.

Наведемо зміст орієнтувальної основи дій учнів при розв’язуванні простих або складених задач:

Пам’ятка для розв’язування простих або складених задач

1. Прочитай задачу та уяви про що в ній розповідається. Про що розповідається в задачі?

2. Виділи ключові слова та склади короткий запис задачі.

3. За коротким записом поясни числові дані задачі та запитання. Зроби схематичний малюнок.

4. Повтори запитання задачі. Що потрібно знати, щоб на нього відповісти?

- Потрібно знати два числових значення: І - … (чи невідомо) та ІІ - … (чи невідомо)

Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі?

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі?

Можна Не можна

5.Розбий задачу на прості. Сформулюй кожну просту задачу. Покажи опорні схеми до кожної.

6.Склади план розв’язування задачі. Про що ми дізнаємося 1-ою дією? Про що дізнаємося 2-ою дією?...

7. Запиши розв’язання задачі.

8. Запиши відповідь.

Діяльність учнів із розв’язання задач являє собою реалізацію основних етапів розв’язування через виконання певних дій. Тому уміння розв’язувати сюжетні задачі - це складне уміння, яке містить комплекс умінь нижчого порядку, що стосуються послідовно виконуваних дій, а саме:

1) уміння аналізувати текст задачі;

2) уміння подавати результати аналізу у вигляді репрезентативної моделі;

3) уміння співвідносити задачу з раніш вивченими і відтворювати спосіб розв’язування задач даного типу (якщо учню пропонується задача відомого типу);

4) уміння виконувати пошук розв’язування задачі, якщо задача невідомого типу або учень не „впізнав” задачу: при арифметичному методі розв’язування – виконувати аналітичні міркування (від запитання задачі до числових даних) або синтетичні (від числових даних до запитання задачі), при алгебраїчному методі розв’язування – складати рівняння, при геометричному методі розв’язування – виконувати креслення, будувати діаграми або графіки;

5) уміння виконувати операції, які забезпечують розв’язування задачі;

6) уміння перевіряти правильність розв’язку.

Учені виділяють два типи умінь розв’язувати задачі: загальне вміння розв’язування будь-яких задач та вміння розв’язувати задачі певних видів. При формуванні загального вміння розв’язувати задачі предметом навчання і основним змістом повинно бути не лише розв’язання задач, але й їх структура, процес розв’язування задач, методи і способи, що допомагають здійсненню кожного етапу та усього процесу розв’язування в цілому. При формуванні в дітей умінь розв’язувати задачі певних видів предметом навчання і основним змістом навчання є види задач, способи і зразки розв’язування задач конкретних видів. Саме такої думки дитримуються більшість науковців-методистів, а отже, вказують на необхідність формування обох видів умінь: і загальних, і умінь розв’язувати задачі певних видів.

Формування загального вміння розв’язувати задачі арифметичними способами (вони переважають у початковій школі) відбувається спочатку на простих задачах, а далі – на складених задачах. Визначимо операційний склад загального вміння розв’язувати задачі арифметичними способами на матеріалі як простих, так і складених задач (див. табл. 2).

Таблиця 2

Операційний склад загального вміння розв’язувати задачі

арифметичними способами

Пор №	Склад загального уміння розв’язувати задачі	Дії, що адекватні арифметичному способу
При розв’язуванні простих задач	При розв’язуванні складених задач
1.	Уміння виконувати предметно-змістовий аналіз задачі	1) виділення умови задачі; 2) виділення запитання задачі; 3) виділення об’єкта (об’єктів) задачі; 4) виділення числових даних і шуканого задачі;
2.	Уміння виконувати логіко-семантичний аналіз задачі	1) виділення слів-ознак окремих видів співвідношень; 2) встановлення виду співвідношення (співвідношень);
3.	Уміння складати репрезентативну модель задачі	1) виділяти ключові слова і відповідні їм числові значення, складати короткий запис задачі у вигляді схеми або визначати величини, що містяться в задачі, виділяти ключові слова і числові значення відповідних величин; записувати задачу у вигляді таблиці; 2) зображати значення величини у вигляді довжини відрізка або за допомогою зображення іншої фігури, наприклад прямокутника; інтерпретувати довжину відрізка як деяку величину, виражати один відрізок через інші; складати схематичний малюнок задачі;
4.	Уміння робити прикидку щодо очікуваного результату	1) виходячи із ситуації задачі, визначати більше чи менше шукане число від одного з даних (наприклад, стало більше, ніж було, залишилося менше, ніж було тощо); 2) співвідносити значення шуканої величини з іншими значеннями цієї самої величини на основі знання характеру зміни однієї величини залежно від зміни другої величини при сталій третій величині (у випадку співвідношення залежності між значеннями різних величин);
5.	Уміння здійснювати пошук розв’язування задачі	1) визначати, яким членом співвідношення є шукане; 2) актуалізувати правило знаходження невідомого компонента даного співвідношення; 3) обґрунтовувати вибір арифметичної дії, засобом якої розв’язується задача;	1) від запитання задачі до числових даних – аналіз; 2) від числових даних до запитання задачі – синтез;
6.	Уміння складати план розв’язування задачі		1) розбивати задачу на прості; 2) встановлювати порядок розв’язання простих задач; 3) формулювати план розв’язування задачі;
7.	Уміння реалізувати знайдений план розв’язування	1) записувати розв’язання; 2) пояснювати виконання дії;	1) записувати розв’язання за діями; 2) пояснювати виконання дії; 3) складати вираз, який є розв’язанням задачі;
8.	Уміння перевіряти правильність розв’язку.	1) складати і розв’язувати обернені задачі; 2) встановлювати відповідність між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі і даними числами; 3) встановлювати відповідність шуканого числа області його значень, які очікувались під час прикидки; 4) переходити до розв’язання задачі іншим способом;
9.	Уміння досліджувати з метою узагальнення її математичної структури і формулювання загального плану		1) досліджувати задачу через зміни числових даних задачі, її сюжету та величин; встановлювати, як ця зміна вплине на розв’язання задачі; 2) визначати істотні ознаки задачі та узагальнювати її математичну структуру; 3) узагальнювати спосіб розв’язування задач даної математичної структури;
10.	Уміння співвідносити нову задачу з раніш розв’язаними.	порівнювати задачі даної математичної структури з іншими задачами, математична структура яких схожа на дану; встановлювати, як ця відмінність впливає на розв’язання.

Уміння розв’язувати задачі певних видів містить ті самі дії, що стосуються аналізу задачного формулювання, подання його результатів у вигляді репрезентативної моделі та прикидки очікуваного результату (1- 4); ті самі дії, що стосуються складання та реалізації плану розв’язування, перевірки та дослідження задачі (6-10). Істотною відмінністю є зміст виконуваних дій на етапі пошуку розв’язування задачі: тут учень „впізнає” задачу знайомої математичної структури та актуалізує загальний план або спосіб розв’язування таких задач.