Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что < , имеет место неравенство .
Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что < , имеет место неравенство .
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком её производной.
Теорема
Для того чтобы дифференцируемая на функция y=f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно чтобы для всех х из этого интервала.
Если же для любого х из то функция y=f(x) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале.
Из теоремы следует, что для того чтобы функция y=f(x) была постоянной на , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
f´(x)<0 |
f´(x)=0 |
f´(x)<0 |
Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю, называются критическими.
|
|
Точка из области определения D(f) точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такой интервал , , не выходящий из области определения D(f), что для всех х ≠ , выполняется неравенство
х0 |
f(х0) |
х0 |
f(х0) |
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумы функции.
Следующая теорема показывает, что точки экстремума следует искать среди критических точек функции.
Теорема Ферма
Если точка - точка экстремума функции y=f(x) и в этой точке существует производная, то