Примеры расчетных задач

2.1 Задача № 1

Дано: А = {10; 4; 3; 1; 2; 6}, В = {1; 2; 5; 6; 8}, С = {3; 8; 10}, D = {1; 3; 5; 7; 10}.

Найти: а) A∩D; б) B \ D; в) С В; г) (А∩В) (D \ С).

Решение:

а) A∩D = {10; 4; 3; 1; 2; 6} ∩ {1; 3; 5; 7; 10} = {1; 3; 10}, так как это общие элементы данных множеств;

б) B \ D = {1; 2; 5; 6; 8} \ {1; 3; 5; 7; 10} = {2; 6; 8}, так как это те элементы множества В, которые не принадлежат множеству D;

в) С В = {3; 8; 10} {1; 2; 5; 6; 8} = {1; 2; 3; 5; 6; 8; 10}, так как это элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств;

г) (А∩В) (D \ С) = ({10; 4; 3; 1; 2; 6}∩{1; 2; 5; 6; 8}) ({1; 3; 5; 7; 10} \ {3; 8; 10}) = {1; 2; 6} {1; 5; 7} = {1; 2; 5; 6; 7}.

Задача № 2

Составить таблицу истинности для формулы: .

Решение:

Данная формула содержит 3 различные переменные и 4 символа логических операций. Число строк в таблице – 2³ + 1 = 8 + 1 = 9. Число столбцов – 3 + 4 = 7.

Определим порядок выполнения операций: 1) отрицание ; 2) отрицание ; 3) дизъюнкция и 4) эквиваленция . Нарисуем таблицу и заполним строку заголовка, начиная с элементарных формул:

А	В	С

Задача № 3

Результаты измерения величин x и y даны в таблице:

x	- 2
y	0,5		1,5

Предполагая, что между x и y существует линейная зависимость y = ax + b, способом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b.

Решение:

Составим расчётную таблицу.

xi	yi	xi2	xiyi
- 2	0,5		- 1
	1,5		1,5

По условию n = 5. Нормальная система (2) принимает вид:

Решим эту систему методом Крамера.

Δ – определитель второго порядка, который равен разности произведений чисел стоящих на главной диагонали (диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и произведения чисел, стоящих на второй диагонали.

Δ – определитель системы, т.е. определитель составленный из коэффициентов при переменных в каждом уравнении системы

Δ_a – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов при переменной a на столбец свободных слагаемых.

Δ_b – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов при переменной b на столбец свободных слагаемых.

Для нашей системы получаем:

Получаем: y = 0,425x + 1,175

Ответ: y = 0,425x + 1,175

Задача № 4

В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и по одной задаче. Всего составлено 28 билетов.

Вычислить вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.

Решение:

Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий: студент одновременно ответит на два вопроса (событие А) и решит задачу (событие В).

Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по два составляет .

Так как студент подготовил только 50 вопросов, то число благоприятных исходов равно

. Р(А)= .

Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных Р(В) = = .

Р(А·В)=Р(А)·Р(В) = ∙ =0,625.