О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат в пространстве (аффинным репером) называется точка и три некомпланарных вектора: .
Прямые , , , определяемые точкой и векторами называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат , определяемая точкой и ортогональными ортами .
О п р е д е л е н и е. Вектор называется радиус-вектором точки .
О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора:
.
У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере в пространстве.
Аналогично тому, как это делалось на плоскости, с помощью координат решаются простейшие задачи
- Определение координат вектора по координатам начала и конца в аффинной системе координат.
- Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них в аффинной системе координат.
- Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .
Задавая в пространстве аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными тройками действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.
|
|
Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные тройки действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.
Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.
Уравнение плоскости
Через данную точку проходит единственная плоскость , параллельная двум данным неколлинеарным векторам и .
Пусть в пространстве задан аффинный репер и , . Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, то есть вектор можно выразить через векторы и :
.
Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки, принадлежащей плоскости:
– параметрические уравнения плоскости.
Условием компланарности векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
– общее уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости приводится к виду
, где .
Пусть плоскость пересекает все три оси координат в точках . Имеем два неколлинеарных вектора и , параллельных плоскости . Тогда получаем уравнение плоскости
или – уравнение плоскости в отрезках.
|
|
Через данную точку проходит единственная плоскость , перпендикулярная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором плоскости.
Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы выразить условие ортогональности векторов через координаты, необходим ортонормированный базис, а значит, в пространстве должна быть задана прямоугольная система координат . Пусть , . Выразив условие ортогональности векторов и через координаты, получим уравнение плоскости : .
Выводы:
1. Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать точку и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости, либо точку и нормальный вектор.
2. Уравнение плоскости приводится к виду
, где ,
то есть плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.
Т е о р е м а. Любая алгебраическая поверхность первого порядка является плоскостью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической поверхности первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой поверхность задается уравнением , где .
Пусть . Приведя уравнение поверхности к виду , получим равносильное уравнение
.
Это есть уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .