Метод координат в плоскости
Определение 7.
Тройка называется прямоугольной (декартовой) системой координат в плоскости или прямоугольным репером.
Обозначается .
Метрические задачи
Задача 9. Вычисление площади треугольника
Дано: , А (х 1; у 1), В (х 2; у 2), С (х 3; у 3).
Найти: площадь треугольника АВС.
Решение (рис.1.14).
|
.
Вычислим площади трапеций АхВхВА, ВхСхСВ, АхСхСА по формуле :
,
аналогично , .
Тогда
.
Точки А, В и С могут располагаться иначе, а определитель, составленный из их координат – положительным или отрицательным числом, поэтому
. (2.1)
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то S =0 и, наоборот.
Пример 7.
Дано: А (6; 0), В (–2; 1), С (2; 7).
Найти: .
Решение.
.
.
Преобразование координат в плоскости
Преобразование аффинных координат
® .
Назовем систему координат «старой», а – «новой».
Пусть точка М имеет в R координаты М (х; у), т.е. ей соответствует радиус-вектор . Пусть точка М имеет в R ¢ координаты М (х ¢; у ¢), т.е. ей соответствует радиус-вектор . Найдем зависимость между «старыми» и «новыми» координатами точки М.
|
|
Радиус-векторы точек связаны равенством:
. (2.2)
Рассмотрим координаты точек и векторов в обеих системах координат.
В «старой» системе:
точка О ¢(a; b) Þ (a; b) Þ ,
векторы Þ
Þ ,
точка М (х; у) Þ = .
В «новой» системе:
точка М (х ¢; у ¢) Þ = .
Из равенства (2.2) получаем:
=()+()=()+[ ],
т.е. = .
Из единственности разложения вектора по базисным векторам – координатным ортам , и по определению координат получаем:
(2.3)
или в матричной форме (2.3*).
Формулы (2.3) связывают «старые» и «новые» координаты точки М при преобразовании аффинной системы координат в другую аффинную систему координат.
Для того чтобы решить обратную задачу: найти новые координаты по известным старым, следует разрешить систему уравнений (2.4) относительно неизвестных х ¢; у ¢.
Рассмотрим частные случаи.
1) Перенос начала координат (параллельный перенос системы координат на вектор ). Это означает, что изменяется положение начала координат и сохраняется направление координатных осей, т.е. координатные векторы, ® .