Системы линейных уравнений

Система уравнений следующего вида:

где а_ij, b_i – числовые коэффициенты, x_i – переменные, называется системой линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

· совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

· несовместной, если она не имеет решений;

· определенной, если она имеет единственное решение;

· однородной, если все b_i = 0;

· неоднородной, если все b_i ≠ 0.

Правило Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

D = det A ¹ 0;

Теорема. (Правило Крамера):

Система из n уравнений с n неизвестными

В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

х_i = _;

где D - главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а D_i – вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b_i.

D_i =

Пример. Решить систему, используя правило Крамера.

;

D₁= ; D₂= ; D₃= ;

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ = = 1;

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ = = 2;

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ = = 3.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

Вариант 1 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 2 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 3 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 4 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)
Вариант 5 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)	Вариант 6 Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)

Матричный метод

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Введем обозначения:

A = - матрица коэффициентов системы;

B = матрица – столбец свободных членов;

X = - матрица – столбец неизвестных.

Систему уравнений можно записать в матричной форме:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B,

т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В, получим

Х = А^-1×В - решение матричного уравнения

Пример. Решить систему матричным методом

Решение.Обозначим:

, , .

Получаем матричное уравнение .

Его решение , т.е.

(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).

Ответ:

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.

Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.

Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:

А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.