Иерархический подход к построению моделей

Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей сразу во всей полноте, с учетом всех факторов, даже для относительно простых объектов. Поэтому естественен подход «от простого – к сложному», при котором возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей. Каждая из этих моделей обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.

Рассмотрим иерархическую цепочку моделей на примере конструкции многоступенчатой ракеты. Как было показано ранее, одноступенчатая ракета не способна развить первую космическую скорость, так как тратиться горючее на разгон ненужной отработавшей структурной массы, следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта.

Пусть структурная масса ракеты состоит из нескольких частей m _s= m ₁+ m ₂+…+ m _n, где m _i – общая масса i –ой ступени, λ m _i – соответствующая структурная масса (при этом масса топлива (1-λ) m _i, тогда начальная масса такой ракеты равна m ₀= m _р+ m ₁+ m ₂+…+ m _n, где m _p – полезная масса (масса спутника).

Для простоты рассмотрим n =3. В момент, когда израсходовано топливо первой ступени, масса ракеты равна величине m _р+λ m ₁+ m ₂+ m ₃, тогда по формуле (5) для первоначальной модели скорость ракеты равна

.

После достижения скорости υ _1, масса 1-ой ступени λ m ₁ отбрасывается и включается вторая ступень. Когда будет отработано топливо второй ступени, то согласно формуле (5) для первоначальной модели, ракета будет иметь скорость υ ₂, равную

,

такие же рассуждения применимы и для третьей ступени, тогда

,

следовательно, для скорости υ ₃ имеем окончательную формулу

(7)

где величины

α₁ = , α₂ = , α₃ =

Выражение (7) симметрично относительно величин α₁,α₂,α₃, и нетрудно показать, что его максимум достигается, когда α₁= α₂= α₃= α, тогда

,

или

.

Легко показать, что α = , где P = , а

.

Проводя аналогичные рассуждения для многоступенчатой ракеты с числом ступеней n, имеем

и P = , (8)

Применим формулу (8) к реальным условиям. Примем . Тогда, для получаем соответственно. Это значит, что двухступенчатая ракета пригодна для выведения на орбиту некоторой полезной массы, однако при одной тонне полезного груза необходима ракета в 149 тонн. Переход к третьей ступени уменьшает массу ракеты почти в два раза, а дальнейшее увеличение числа ступеней не дает существенного выигрыша. Построение иерархической цепочки позволило перейти к таким важным выводам.

Упражнение 1. Пусть рассмотренная идеальная одноступенчатая ракета, у которой отбрасывается часть структурной массы, к моменту полного сгорания топлива m _s = 0. Покажите с помощью закона сохранения энергии, что .

Упражнение 2. Почему идеальная ракета может достичь любой скорости?

Рассмотрим иерархическую цепочку моделей системы «шарик – пружина», получающихся одна из другой путем последовательного отказа от предположений, идеализирующих объект. Путь «от простого – к сложному» дает возможность поэтапно изучать все более реалистичные модели и сравнивать их свойства.

Задача №5. Найти уравнение движения шарика, присоединен­ного к пружине в случае, когда на него действуют силы трения, сопротивления среды, внешняя сила F (r,t).

Решение. Пусть r (t) – координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости и направление движения шарика совпадает с ее осью (рис. 2).

Рис. 2.

Первоначально будем считать плоскость идеально гладкой, F(r,t)=0 и пренебрежем сопротивлением воздуха, тогда единственная сила, действующая на шарик в направлении оси, сила упругости пружины. Согласно закону Гука она равна , где коэффициент k > 0 характеризует упругие свойства пружины, а r – величину ее растяжения или сжатия относительно ненагруженного положения r = 0.

Уравнение движения шарика принимает вид

. (9)

Это уравнение обычного осциллятора, оно описывает его гармонические колебания и имеет общее решение вида , где – собственная частота колебаний системы, А – амплитуда колебаний, – начальная фаза колебаний.

Пусть в системе «шарик – пружина» появляется внешняя сила, тогда уравнение движения шарика принимает вид

. (10)

1) Пусть приложенная к шарику сила постоянна: F (r, t) = F ₀

Делая замену , получаем уравнение обычного осциллятора (9) .

Его решение имеет вид

, тогда

2) К шарику приложена периодическая сила: F (r, t)= F ₀sin ω₁t, тогда уравнение движения шарика принимает вид

m ,

а его решение, согласно теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

r (t) + =

+ ,

где – собственная частота колебаний системы.

Периодическая внешняя сила приводит не только к появлению в системе дополнительных колебаний с частотой ω₁, но и к возникновению резонанса – неограниченному росту амплитуды колебаний при ω₁ стремящейся к .

3) Пусть происходит движение точки крепленияпружины: точка крепления пружины движется по закону: r ₀(t)= f (t). Тогда в системе координат, связанной с этой точкой, на шар действует, помимо натяжения пружины, сила инерции, равная , где – ускорение, связанное с движением системы координат . В этой системе координат движение шара описывается уравнением:

m , где – некоторая заданная функция времени. Как и в предыдущем случае, при соответствующем периодическом движении точки крепления в системе возникает резонанс.

4) При более сложной геометрии силы инерции системы могут зависеть не только от времени t, но и от координаты r. Если пружина надета на стержень, движущийся с угловой скоростью ω (t), то центробежная сила инерции равна

F (r, t)= = mω ² R, где R = R ₀+ r, , уравнение движения шарика принимает вид:

m .

Пусть R ₀>> r (t), тогда последнее уравнение перейдет в уравнение

m

В этом случае сила действует в одну сторону (нет периодических колебаний), следовательно, нет резонанса.

5) Рассмотрим шарик, закрепленный между двумя пружинами с коэффициентами жесткости (рис. 3),

Рис. 3.

тогда уравнение движения шарика принимает вид:

или ,

где – увеличенная жесткость пружины.

Таким образом, усложнение в постановке задачи не всегда ведет к усложнению решения задачи.

6) Учтем силы трения. Причины появления сил трения:

а) неидеальность поверхностей шарика и плоскости, по которой он движется. В этом случае сила трения равна , так как она пропорциональна весу и направлена против движения шарика. Тогда уравнение движения шарика принимает вид

. (11)

Убедимся в том, что амплитуда колебаний со временем будет уменьшаться. Для этого умножим соотношение (11) на , тогда в левой части имеем

,

а (11) преобразуется к виду

или

,

в левой части последнего уравнения под знаком производной стоит сумма кинетической и потенциальной энергии системы (полная энергия системы), а правая часть при отрицательна, имеем , то есть полная энергия системы убывает со временем.

б) Сила трения, возникающая из-засопротивления среды, не постоянна и существенно зависит от скорости движения. Эта зависимость описывается формулой Стокса: , где μ>0 определяется размерами шарика, плотностью среды, ее вязкостью. Уравнение движения в вязкой среде принимает вид:

или .

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и его решение, согласно теории, имеет разный вид в зависимости от вязкости среды:

· При малой вязкости μ² < 4 km

r (t)=

в системе происходят затухающие со временем колебания.

· При μ = 2

r (t) = (C₁ t +C₂) =

колебания отсутствуют благодаря подавляющему действию

среды и система может только один раз пройти через положе-

нее равновесия r ₀ = 0. Здесь r (0) = r ₀, υ (0) = υ ₀.

· При большой вязкости μ² > 4 km

r (t)= _,

то есть действие силы трения настолько велико, что для любых r ₀, υ ₀ шарик застревает в среде, никогда не проходя через точку r ₀ = 0, а лишь односторонне приближаясь к ней при .

7) Нелинейная модель система шарик-пружина. Формула Стокса справедлива только, когда действуют постоянные внешние силы, уравновешенные постоянными скоростями (установившееся движение).

Возможны случаи, когда сила сопротивления среды при малых скоростях меньше, а при больших больше, чем вычисляемая по формуле Стокса, например F (υ)= , α > – 1, тогда

m

Решение этого уравнения выписать, вообще говоря, нельзя, но можно показать, что оно будет носить затухающий характер.

Мы построили иерархическую цепочку моделей от простого к сложному, но, следует заметить, что часто иерархия математических моделей строится по противоположному принципу «от сложного – к простому», то есть из достаточно общей и сложной модели при упрощающих предположениях получается последовательность все более простых, имеющих более узкую область применения моделей, они изучаются, проверяется принцип «наибольшего благоприятствования», и, если он позволяет, то добавляются усложняющие факторы и рассматривается следующая модель.