Принцип наибольшего благоприятствования

Принцип «наибольшего благоприятствования» часто используется на начальной стадии математического моделирования сложных объектов и формулируется так: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то надо изменить подход к объекту или смягчить требования к нему; если же характеристики в принципе достижимы, то надо исследовать влияние на объект дополнительных осложняющих факторов.

Проиллюстрируем этот принцип на примере решения следующей задачи.

Задача №4. Смоделировать ракету, выводящую на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, учитывая, что для этого ей требуется развить скорость примерно 8 км/с.

Решение. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно тягу реактивных двигателей.

Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают выхлопные сопла со скоростью и (для современных топлив скорость и = 3-5 км/с). За малый промежуток времени dt между моментами времени t и t + dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс «ракета + продукты сгорания» остался тем же, что и в момент времени t, то есть

m (t) υ (t)= m (t + dt) υ (t + dt) – dm (t)(υ (t +ξ dt) – u),

где υ (t) – скорость ракеты, υ (t +ξ dt) – u, 0<ξ<1 – средняя за промежуток dt скорость истекающих из сопел газов. Пренебрегая членами второго порядка малости по dt, имеем

m (t + dt) – m (t)≈ dt, υ (t + dt) – υ (t)≈ dt,

тогда закон сохранения импульса можно записать в виде дифференциального уравнения

m = – и,

где правая часть представляет не что иное, как силу тяги ракетных двигателей. Если переписать это уравнение в виде

= – и,

то оно легко интегрируется и дает

υ (t) = υ ₀ + и , (5)

где υ ₀ и m ₀ – соответственно скорость и масса ракеты в момент времени t = 0. Если υ ₀ = 0, то максимальная скорость ракеты достигается при полном сгорании топлива и равна

υ = и , (6)

Здесь m _p – полезная масса (масса спутника), m _s – структурная масса (масса ракетной конструкции), m _t – масса топлива, то есть

m ₀ = m _p + m _s + m _t.

Формула (5) называется формулой Циолковского и позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты.

Введем величину , которая при m _p= 0 характеризует соотношение структурной и начальной масс ракеты. Тогда для практически реальных значений , при m _p= 0 получаем, что .

Таким образом, видно, что даже в самой идеальной ситуации (m _p= 0, отсутствует гравитация, сопротивление воздуха и т.д.) ракета данного типа не способна достичь первой космической скорости, следовательно, необходимо использовать многоступенчатые ракеты.

Этот пример хорошо иллюстрирует принцип наибольшего благоприятствования: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то надо изменить подход к объекту или смягчить требования к нему. Если характеристики достижимы, то надо исследовать влияние на объект дополнительных факторов.