Теорема Клайперона.
Работа внешней силы (момента) равна половине произведения конечного значения этой силы (момента) на конечное значение соответствующего перемещения (угла поворота), имеющ. в виду статические силы, т.е. увеличивающийся от 0 до конечного значения, и больше не изменяя свое значение. При действии системы сил работа равна половине суммы произведений: А=1/2åni=1Fi∆i, где ∆i - перемещение точки под силой Fi, величина которого зависит от всех приложенных к системе сил.
dU=M2(x)dx/(2EIZ) – элементарная потенциальная энергия деформации балки (точнее элемента dx) работающей в состоянии чистого изгиба.
Чтобы получить энергию деформации всей балки U необходимо проинтегрировать выражение по длине балки.
U=åik=1∫0LiM2(x)dx/2EIZ – потенциальная энергия деформации балки при чистом изгибе, где Li – длина i-го участка балки, на котором законы М(х), Е, IZ постоянны (одинаковы); k – количество участков балки.
Интеграл Мора.
Дана линейно деформируемая балка. Требуется определить перемещение т.К. под действием силы F.
|
|
ΔFF – перемещение точки под силой F в направлении силы F (первый индекс) от действия силы F (второй индекс).
ΔКF– перемещение т.К. (1ый индекс) от действия силы F (2ой индекс).
Рассмотрим вспомогательную систему: данную балку освобождаем от внешней нагрузки и в т.К. прикладываем фиктивную силу P.
1) Работа силы Р на перемещении ΔКР равна потенциальной энергии деформации балки под действием силы P.
Ар=Up; Ap=½PΔКР; Up=åi=1k∫Li(Mp2(x)/2EIZ)dx.
Слагаемым от Qy при поперечном изгибе пренебрегаем, т.к. действие Qy на напряженное состояние незначительно (τ<<σ).
½PΔКР=åi=1k∫Li(Mp(x)/2EIZ)dx.
2) К балке, уже деформируемой силой Р, статически прикладываем силу F. Работа силы F на перемещение ΔFF равна потенциальной энергии деформации балки от силы F.
½FΔFF=åik=1∫Li(MF2(x)/2EIZ)dx.
3) Работа силы Р на перемещение ΔKF: AKF = РΔKF – нет ½, т.к. сила Р уже имела коночное значение.
4) Суммарная работа внешних сил: А=АP+АF+АKF; U= åik=1∫Li([MP(x)+MF(x)]2/2EIZ)dx; A=U→PΔKF= åik=1∫Li((MP(x)+MF(x))/EIZ)dx.
ΔKF=åi∫Li((MP(x)/P)MF(x)dx)/EIZ.
MP(x)/P=M1(x) – закон изменения на i-ом участке изгибающего момента, вызванного действием единичной (безразмерной) силы (момента), приложенной в той точке, перемещение (угол поворота) для которой определяется:
ΔKF=åi∫Li((MF(x)M1(x)dx)/EIZ) – интеграл Мора.
ΔKF – обобщенное перемещение точки К от заданной системы сил.
MF(x) – закон изменения на i–ом участке изгибающего момента, вызванного действием внешних сил, приложенных к балке.
Если определяется прогиб балки, то в точке К прикладывается единичная сила по направлению искомого перемещения. Если определяется угол поворота, то единичный момент.
|
|
Порядок решения задач методом Мора.
1) Для заданной балки на каждом участке записываем законы изменения MF(x).
2) Освобождаем балку от внешней нагрузки.
3) В т. К по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу (момент) и для каждого участка записываем законы М1(х).
4) Подставляем MF(x), M1(x) в интеграл Мора и вычисляем его. Если полученное ΔKF имеет знак «–», то действительное перемещение точки имеет направление противоположное единичной силе.