Проверка правильности рассуждений

Рассуждение есть утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок). Рассуждение считается правильным только в том случае, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. между конъюнкцией посылок и заключением установлено отношение следствия. Если P₁, P₂,..., P_n – посылки, а Q – заключение, то рассуждение правильно, если между высказыванием P₁ Ù P₂ Ù... Ù P_n и Q установлено отношение следствия. В этом случае импликация P₁ Ù P₂ Ù... Ù P_n®Q должна быть тождественно истинным высказыванием (тавтологией).

Правильность рассуждения можно установить, построив истинностную таблицу высказывания S= P₁ÙP₂Ù...ÙP_n®Q и убедившись в том, что оно тождественно истинно.

При большом числе посылок установить тот факт, что является тавтологией, удобнее с помощью преобразований высказывания к равносильной ему формуле, являющейся тавтологией.

Метод «от противного» заключается в предположении, что заключение ложно, и установление того факта, что при этом конъюнкция P₁ Ù P₂ Ù... Ù P_n – ложна (что имеет место в том случае, если хотя бы одна из посылок P_i () принимает значение «ложно»). Если это выполняется, то рассуждение верно, в противном случае – нет. Таким образом, в случае правильного рассуждения мы убеждаемся в том, что импликация S= P₁ Ù P₂ Ù... Ù P_n®Qº1, т. к. отсутствует логическая возможность, соответствующая P= P₁ Ù P₂ Ù... Ù P_n=1, Q=0, где импликация P®Q принимает значение ложно.

Упражнение 2.2.2

«Если функция непрерывна на данном интервале и имеет разные знаки на его концах, то внутри интервала функция обращается в нуль. Функция не обращается в нуль внутри данного интервала, но на концах интервала имеет разные знаки. Следовательно, функция разрывна».

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят их следующих элементарных высказываний:

A – «функция непрерывна на данном интервале»,

B – «функция имеет разные знаки на концах интервала»

C – «функция обращается в нуль внутри данного интервала».

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключение в виде формул:

AÙB®C (1-я посылка P₁)

ÙB (2-я посылка P₂)

(заключение Q)

Если импликация (AÙB®C)Ù( ÙB)® =P®Q тождественно истинна, то рассуждение верно. Для проверки правильности рассуждения строим истинностную таблицу:

Таблица 2.2.5

А	В	С	АВ	АВ®С		B	P1ÙP2		P1ÙP2®Q

Убеждаемся, что рассуждение верно. Проведем проверку правильности этого рассуждения методом от противного. Предположим, что заключение Q ложно. Покажем, что в этом случае конъюнкция посылок P₁ÙP₂ ложна, т. е. P →Q тождественно истинна.

В самом деле, если Q= ложно, то A истинно. Пусть P₂= B истина, тогда B – истинно, – истинно т. е. C – ложно, но в этом случае посылка принимает значение ложно, так как P₁=АВ®С принимает значение ложно, так как AB=1, а С=0, что и требовалось проверить.

Правильность данного рассуждения можно проверить, преобразовав формулу P₁ÙP₂ к некоторой равносильной ей формуле, которая задает заведомо тождественно истинное высказывание.

Это сделаем после ознакомления с так называемыми совершенными нормальными формами формул алгебры высказываний.