Вероятность безотказной работы, плотность распределения и интенсивность отказов

Время появления отказа t* рассматривают как случайную величину.

Вероятность безотказной работы за время t

(14.1)

Символ Вер означает вероятность.

Пусть в начальный момент времени работает N0 изделий. Если к моменту времени наработки ti исправными оказались Nи(ti), а неисправными N*(ti) изделий, то статистическая оценка вероятности безотказной работы

(14.2)

Для простоты допустим, что число изделий настолько велико, что статистическая оценка близка к истинной вероятности. Пусть за время работы

(14.3)

число отказавших изделий увеличилось на

(14.4)

Вероятность отказа изделия за время Δti

(14.5)

Если отнести вероятность отказа в промежутке Δti

к самому промежутку, то получим плотность распределения отказов

(14.6)

Более точно плотность распределения в момент t

(14.7)

Плотность (частота) отказов (плотность вероятности отказов) представляет собой число отказов в единицу времени (скорость выбывания), отнесенное к первоначальному числу изделий. Если F(t) - функция распределения случайной величины t*, то

F(t) = Вер(t*< t) = 1 – P(t). (14.8)

Функция распределения связана с плотностью вероятности отказов

(14.9)

так как время до появления отказа — величина положительная. Из последнего соотношения следует:

(14.10)

Интенсивность отказов λ(t) представляет собой число отказов в единицу времени, отнесенное не к первоначальному числу изделий, а к числу изделий, находящихся в эксплуатации в данный момент:

(14.11)

Если учесть, что (по смыслу)

(14.12)

— суммарная наработка всех изделий за время Δti, то интенсивность отказов равна числу отказов в данном интервале времени, отнесенному к общей наработке изделий в этом же промежутке времени:

(14.13)

Более точно интенсивность отказов в момент времени t

(14.14)

Интенсивность отказов характеризует плотность вероятности отказов в ближайший промежуток времени, если до его начала отказ еще не произошел.

Интенсивность отказов и плотность вероятности отказов связаны соотношением

(14.15)

Равенство λ(t) можно записать его в виде:

, (14.16)

если учесть формулу f(t) (14.7) и Р(t) (14.2).

Пример. В эксплуатацию с ресурсом 300 часов выпущена партия из 500 объектов. Число снятых объектов после различной выработки характеризуется следующими данными: