Задачи 9 и 10 связаны с использованием уравнения Бернулли

Задача 9. Вода перетекает из напорного бака, где избыточное давление воздуха Р_изб = 0,3 МПа, в открытый резервуар по короткой трубе d = 50 мм, на которой установлен кран. Чему должен быть равен коэффициент сопротивления крана ξ _кр для того, чтобы расход воды составил Q = 8,7 л /с. Высоты уровней Н₁ = 1 м и Н₂ = 3 м. Учесть потери напора на входе в трубу (ξ _вх = 0,5) и на выходе из трубы (внезапное расширение) ξ _вых = 1. Рис. 8.

Решение.

Запишем уравнение Бернулли для двух пар сечений 1 – 1 (на уровне воды в напорном баке) и сечения 2 – 2 (сразу после крана) и сечения 2 – 2 и сечения 3 – 3 на уровне воды в открытом резервуаре относительно оси трубы:

 

Р₁ / (ρg) + Н₁ + U₁²/(2g) = Р₂ /(ρg) + (1 + ξ _кр + ξ _вх) U₂²/(2g),

 

где: Р₁ и Р₂ давления в сечениях 1 – 1 и 2 – 2, U₁ и U₂ – скорости в тех же сечениях, причем U₁ = 0, так как в напорном баке и открытом резервуаре, по условиям задачи, поддерживается постоянный уровень, то есть и U₃ = 0.

 

Скорость U₂ определяется из уравнения расхода:

 

U₂ = 4Q / (π d²) = 4*8,7 10^-3 / (3,14*0,05²) =4,43 м /с.

 

Р₂ /(ρg) + U₂²/(2g) = Р_а/(ρg) + Н₂ + U₃²/(2g) + ξ _вых U₂²/(2g),

 

Суммируя два уравнения Бернулли, с учетом того, что U₁ = U₃ = 0 и Р₁ – Р_а = Р_изб, получим:

 

ξ _кр = ((Р_изб / (ρg) + Н₁ – Н₂) (2g) / U₂² - ξ _вх - ξ _вых = ((0,3 10⁶/(1000*9,81) +

 

+ 1 – 3)(2*9,81)/ 4,43² – 0,5 – 1 = 27,1.

 

Задача 10. Определить расход жидкости, вытекающей из трубы диаметром d = 16 мм через плавное расширение (диффузор) и далее по трубе диаметром D = 20 мм в бак. Коэффициент сопротивления диффузора ξ _диф = 0,2 (отнесен к скорости в трубе диаметром d), показание манометра Р_м = 20 кПа; высота h = 0,5 м, Н = 5 м; плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³. Учесть потери на внезапное расширение ξ _рас = 1, потерями на трение пренебречь, режим течения считать турбулентным. Рис. 9.

Решение.

Если через Р_а обозначить абсолютное давление на уровне жидкости в баке, то абсолютное давление в сечении 1 – 1, где установлен манометр:

 

Р₁ = Р_м + Р_а + ρgh или Р₁ – Р_а = Р_м + ρgh.

 

Поскольку режим течения турбулентный, примем, что коэффициенты Кориолиса равны 1.

Запишем уравнение Бернулли для сечения 1 – 1 и сечения 2 – 2 в произвольном поперечном сечении трубы диаметром D, относительно общей оси труб:

 

Р₁ / (ρg) + U₁²/(2g) = Р₂/(ρg) + U₂²/(2g) + ξ _диф U₁²/(2g),

 

Аналогично можно записать уравнение Бернулли для сечения 2 – 2 и сечения 3 – 3, взятого на уровне воды в баке с учетом того, что Р₃ = Р_а и U₃ = 0:

 

Р₂ /(ρg) + U₂²/(2g) = Р_а/(ρg) + Н + ξ _рас U₂²/(2g).

 

Сложив два последних уравнения, получим:

 

(Р₁ – Р_а) /(ρg) = Н + ξ _диф U₁²/(2g) + ξ _рас U₂²/(2g) - U₁²/(2g),

 

С учетом того, что из уравнения сохранения расхода жидкости:

 

Q = πd² U₁/4 = π D² U₂/4 следует, что U₂ = U₁ (d/D)².

 

Из последнего уравнения получим:

 

U₁ = (2g(Н - (Р_м + ρgh) /(ρg)) / (1 - ξ _диф - ξ _рас(d/D)⁴))^1/2 = ((5 – (20 10³ +

 

+ 1000*9,81*0,5) /(1000*9,81) / (1 – 0,2 – 1*(0,016/0,020)⁴)^1/2 = 11,2 м /с.

 

Объемный расход жидкости равен:

 

Q = πd² U₁/4 = 3,14*0,016²*11,2/4 = 2,25 10^-3 м³/с = 2,25 л/с.