Геометрическое, кинематическое и динамическое подобие

Коэффициенты подобия

После исследований, выполненных на мо­дели, необходимо перенести полученные данные на натур­ный объект, что и является конечной целью моделирования. При физическом моделировании это можно сделать доста­точно надежно лишь в том случае, если есть уверенность, что явления в натуре и на модели подобны.

Физическое подобие явлений заключается в подобии полей соответствующих физических параметров двух систем (натуры и модели), как в пространстве, так и во времени, т. е. в пропорциональности, характеризующих их сходственных параметров. В частности, механическое по­добие двух потоков жидкости предполагает наличие гео­метрического, кинематического и динамического подобия.

Естественно потоки считать механически подобными, если геометрические, кинематические и динамические вели­чины, характеризующие натурный поток, могут быть полу­чены из соответствующих величин модельного потока, взя­тых в сходственных точках и в сходственные моменты вре­мени, простым умножением на постоянные множители, на­зываемые коэффициентами подобия (масштабами).

Геометрическое подобие заключается в том, что сходственные линейные элементы натурного и модель­ного объектов находятся в одинаковом соотношении:

l_м/l_н=m, (7-1)

где 1_н - длина линейного элемента в натуре; 1 _м - длина сходственного модельного элемента; т - геометрический масштаб (коэффициент геометрического подобия).

Очевидно, сходственные площади ω_н и ω_м находятся в соотношении

(7.2)

а отношение сходственных объемов соответственно равно

V_н/V_м = m_v = m³. (7.3)

При обеспечении геометрического подобия углы между двумя сходственными направлениями (β_н и β_м одинаковы: β_н = β_м, β =idem (idem - значит «одно и то же»).

Кинематическое подобие заключается в по­добии полей скоростей и ускорений натуры и модели, кото­рое выполняется, если скорости u_н и и_м и ускорения j_н и j_м в сходственных точках натуры и модели находятся в одинаковых соотношениях, т. е. существует масштаб ско­ростей т_u и масштаб ускорений m_j, т. е.

u_н / и_м = т_u =const; j_н /j_м= m_j= const.

Масштабы скорости и ускорений связаны с геометри­ческим масштабом. Действительно, так как сходственные расстояния натурные и модельные частицы проходят за сходственные отрезки времени t_н и t_м, то существует и масштаб времени:

t_н / t_м =m_t= const. (7.4)

Но натурная и модельная скорости выражаются через сходственные отрезки пути и времени

u_н=l_н/t_н и u_м=l_м/t_м,

откуда

т_u = u_н / и_м = l_н/ t_м /(l_м/ t_н) =mm_t^-1.(7.5)

Аналогичным путем получим для масштаба ускорений

m_j= j_н/j_м = mm_j ^-2. (7.6)

Таким образом, кинематическое подобие возможно лишь при обеспечении геометрического подобия.

Динамическое подобие состоит в подобии мно­гоугольников сил, действующих на сходственные частицы (имеющие сходственные массы М_н и М_м).

Так как

F_н = М_н j_н,= ρ_нV_нj_н, аF_м= М_м j_м=ρ_мV_мj_м, то

m_F = F_н/F_м,= ρ_нV_нj_н /(ρ_мV_мj_м)= т_рт³т_j= m_pm³m/m_t² = т_рт² т_u ² = const. (7.7)

Полученное соотношение называется законом динамичес­кого подобия Ньютона в коэффициентах подобия.

Из полученного выражения следует, что для обеспече­ния динамического подобия требуется выполнить условия геометрического и кинематического подобия и что основ­ными масштабами являются масштабы длины, силы и времени. Эти условия являются необходимыми. Как правило, они и достаточны, однако доказательство их достаточности затруднено разнообразием начальных и гра­ничных условий, которые на практике выполняются лишь с некоторой степенью приближения.