Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение 1. Функция у =f (х) называется выпуклой вниз напромежутке X, если для любых двух значений из этогопромежутка выполняется неравенство

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рисунке 10. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком (см. рис. 10а), если – выпукла вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под
графиком функции (см. рис. 10 б).

Рисунок 10 – Графики функций, выпуклых вниз и вверх

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Используя условия монотонности, мы можем определить следующее достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Если , то возрастает на промежутке X, следовательно, на основании предыдущей теоремы функция выпукла вниз на промежутке X. Аналогично рассматривается случай .

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х ₀ равна нулю, т.е.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х ₀ меняет свой знак, то х ₀есть точка перегиба ее графика.

Нужно иметь в виду следующую геометрическую интерпретацию точек перегиба.

В окрестности точки х ₁ функция выпукла вверх и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х ₂, на которойфункция выпукла вниз, картина обратная – график лежит выше касательной. В точке же перегиба х ₀ касательная разделяет график – он лежит по разные стороны касательной.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1. .

2. .

при и (рис. 11).

Рисунок 11

3. на интервалах и , следовательно,на этих интервалах функция выпукла вниз; на интервале , следовательно, функция на нем выпукла вверх, а и есть точки перегиба.

4°. Значения функции в точках перегиба