Решение типового примера. Пример Исследовать качество трех конструкций ЭА одного функционального назначения, изготовленных на трех предприятиях

Пример Исследовать качество трех конструкций ЭА одного функционального назначения, изготовленных на трех предприятиях, температурные условия эксплуатации изменяются в диапазоне от 20 до 70 °С.

Решение. Исследование проведем по наиболее информативной выходной переменной Y в относительных единицах. Так как имеют место качественные факторы (конструкции и предприятие-изготовитель), а общее число факторов равно трем, то при планировании эксперимента используем 3x3 латинский квадрат с числом параллельных опытов m =4. Рандомизированный план и результаты эксперимента представлены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

План эксперимента	Результаты опытов
Уровни фактора	b1	b3	b2	Уровни фактора	b1	b3	b2
a2	c3	c2	c1	a2	2, 0, 1, 4	4, 3, 2, 6	8, 6, 10, 9
a1	c2	c1	c3	a1	5, 4, 10, 8	8, 6, 4, 7	11, 9, 10, 12
a3	c1	c3	c2	a3	6, 7, 8, 5	8, 9, 10, 7	9, 1, 2, 8

В строках квадрата (табл. 4.5) a₁, a₂ и a₃ представлены предприятия-изготовители, в столбах b_1, b_2, b₃ — конструкции ЭА, элементы латинского квадрата c₁, c₂, c₃ — значения выходной переменной Y в относительных единицах.

Результаты обработки наблюдений представлены в табл. 4.6, где даны суммы четырех опытов, итоги по строкам (A_i), по столбцам (B_j) и по латинской букве (С_к).

 

Таблица 4.6

Уровни фактора	b1	b3	b2	Итоги по строкам
a2	c3 7	c2	c1	A2=55
a1	c2	c1	c3	A1=94
a3	c1	c3	c2	A3 =80
Итоги по столбцам	B1=60	B3=74	B2=95	Итог G =229
Итоги по букве (Ск)	C1=84	C2=62	C3=83	–

 

Рассчитываем суммы квадратов для факторов S_a, S_b, S_c общую сумму квадратов S и остаточную сумму квадратов S_o, для чего вначале вычисляем суммы квадратов S₁, S₂, S₃, S₄, S₅ с учетом параллельных опытов n =4:

 

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Дисперсия внутри ячеек

Результаты дисперсионного анализа сводим в табл. 4.7.

 

Таблица 4.7

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Критерий Фишера Fрасч
Строка (предприятие – изготовитель)	n -1=2	Sa =65,06		7,15
Столбец (конструкция)	n -1=2	Sb =51,73		5,68
Латинская буква (условия испытаний)	n -1=2	Sc =25,73		2,82
Остаток	(n -1)(n -2)=2	S0 =79,04		8,68
Внутри ячеек	n 2(m -1)=27	Sв.я. =122,75	sв.я. =4,55	–
Итого		344,31	–	–

 

 

Как показал анализ, эффекты по строке и столбцу значимы. Незначим оказался эффект по латинской букве (температура испытаний).

Проводим проверку гипотезы о незначимости всех взаимодействий по критерию Фишера:

 

 

Из табл. А2 для = 0,05 и степеней свободы ₁=2, ₂=27 находим критическое значение F -критерия, который оказался равным 3,35.

Так как F_расч > F_кр, то гипотеза о незначимости взаимодействий отвергается, что говорит о смешивании главных эффектов со взаимодействиями.

Логический анализ показал, что существенным можно считать взаимодействие факторов ВС, т.е. между конструкцией и условиями испытаний. Очевидно, при проектировании исходили из различных технических заданий, в которые не ставились одинаковые требования по термостабильности.

 

Задачи для решения

1. Исследовать точность настройки трех конструкций ЭВА одного функционального назначения, изготовленных на трех предприятиях тремя высококвалифицированными рабочими, имеющими различный стаж работы.

Результаты эксперимента помещены в таблицу, где значения a₁, a₂, a₃ – предприятия-изготовители; b₁, b₂, b₃ – конструкции; c₁, c₂, c₃ – квалификация рабочих; число параллельных опытов n =5.

При выполнении задания плана эксперимента необходимо рандомизировать и к результатам опытов прибавить номер выполняемого варианта.

Уровнь факторов	Результаты опытов
b1	b2	b3
a1	3, 6, 4, 2, 2	10, 11, 13, 13, 11	3, 3, 5, 7, 3
a2	7, 9, 11, 8, 7	1, 1, 2, 5, 2	1, 3, 3, 6, 3
a3	1, 2, 2, 5, 1	1, 2, 2, 5, 2	3, 6, 5, 2, 6

2. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры, Па. Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения. Для каждой комбинации времени откачки и напряжения проведены испытания. Порядок проведения эксперимента полностью рандомизирован. Результаты эксперимента представлены в таблице:

Напряжение на нагревателе насоса U, В	Время откачки, мин
	0,048	0,028	0,007
0,058	0,033	0,015
	0,062	0,014	0,006
0,054	0,010	0,009

Провести дисперсионный анализ этих данных и проверить влияние времени откачки, напряжения на нагревателе и их взаимодействия на давление.

3. Для любого значимого эффекта предыдущей задачи проверить значимость различия между уровнями значимых факторов. Какую комбинацию времени откачки и напряжения на нагревателе можно рекомендовать, если желательна комбинация, для которой давление минимально? Объяснить сделанный выбор.

4. Определялась сила сцепления клейкого материала при трех фиксированных уровнях влажности и трех фиксированных температурных условиях. Для каждого сочетания условий записано по четыре показания. Эксперимент полностью рандомизирован. Результаты дисперсионного анализа представлены в таблице. Заполнить таблицу до конца.

Источник изменчивости	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Средний квадрат
Влажность, H		9,07
Температура, T		8,66
Взаимодействие, HT		6,07
Ошибка, ε
		52,30

5. Для эксперимента предыдущей задачи установить математическую модель и указать гипотезы, которые нужно проверить.

6. Для данных двух предыдущих задач проверить гипотезы о влиянии факторов и их взаимодействия и дать заключение.

7. Цель эксперимента – определить осевое давление при сверлении печатных плат на различных скоростях с разной подачей материала и для различных материалов. Использовали пять скоростей, три вида подачи материала для двух типов материала и для каждого сочетания условий снимали показания. Порядок проведения эксперимента был полностью рандомизирован, уровни факторов фиксированы. В таблицу данных эксперимента числа занесены после вычитания из каждого показания числа 200.

Провести полный дисперсионный анализ этого эксперимента и дать заключение.

 

Тип материала	Подача материала, мм/об	Скорость, м/мин
B10	0,004
0,008
0,014
V10	0,004
0,008
0,014

8. Цель эксперимента – получить данные для конструирования автоматического устройства управления технологическим процессом пайки печатных плат волной. Выбраны три уровня температуры (фактор А) и два уровня скорости конвейера перемещения плат (фактор В). Контролировалось количество «холодных» паек. Порядок проведения эксперимента полностью рандомизирован.

Скорость перемещения плат (фактор В)	Температура волны (фактор А)
2200С (А1)	2200С (А2)	2200С (А3)
1,5 м/мин (В1)
2,5 м/мин (В2)

9. Ответить на вопрос – какая температура волны и какая скорость перемещения печатной платы по условиям предыдущей задачи обеспечивают меньшее количество «холодных» паек?

Контрольные вопросы

 

1. Какого типа практические задачи обычно решают методом дисперсионного анализа?

2. Как математически формулируется задача однофакторного дисперсионного анализа?

3. В чем заключается основная идея метода дисперсионного анализа?

4. Каким образом производится оценивание существенности влияния фактора в однофакторном дисперсионном анализе?

5. Как производится оценивание влияния двух факторов и их взаимодействий в двухфакторном дисперсионном анализе?