Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью

Дифференциал функции.

1. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

2. Дифференциальная функции, его геометрический смысл.

3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.

4. Дифференциал высших порядков.

 

Введение.

Дифференцирование функции есть одна из важнейших операций математического анализа, которую мы должны поэтому тщательно изучить. Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных называется дифференциальным исчислением и составляет собой один из основных разделов математического анализа. В первую очередь мы должны овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том числе – всех элементарных функций.

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где А – некоторое число, не зависящее от , а - функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

 

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.

 

Теорема1. Для того чтобы функция была дифференцируема в необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Установим связь между понятием дифференцируемости и непрерывности.

 

Теорема2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

 

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке.

 

Например, функция непрерывна в точке , но производной в этой точке не имеет. Действительно, .

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то будем говорить, что функция дифференцируема на данном промежутке.