Функциональная зависимость. Необходимые и достаточные условия зависимости функций

Регулярные отображения

Дифференцируемость. Производные отображения

Дано отображение y = f (x), x Î Rⁿ, y Î R^p. Это отображение называется непрерывным в точке x ⁰(будем предполагать, что x ⁰ внутренняя точка области определения и y ⁰ =f (x ⁰)), если для любой окрестности точки U (y ⁰)существует окрестность U (x ⁰)такая, что xÎ U (x ⁰)Þ f (x)Î U (y ⁰). Отображение непрерывное в каждой точке множества называется непрерывным на этом множестве. Можно показать, что непрерывное отображение переводит открытое множество в открытое множество. Обратное тоже верно.

Определение. Отображение y = f (x) из DÌRⁿ в D*Ì R^p называется дифференцируемым в точке x ⁰, если в некоторой окрестности точки x ⁰ справедливо равенство

D f_i = + e _i r(x,x ⁰), i= 1,2, …,p, e _i® 0 при x® x ⁰,

.

Главная линейная часть

L(x,Dx) =

называется дифференциалом отображения f в точке x ⁰. Иногда L называется производным отображением.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости отображения). Пусть отображение y = f (x) из DÌRⁿ в D*ÌR^p определяется дифференцируемыми в точке x ⁰ функциями

,

тогда f дифференцируема и.

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Определение. Отображение f называется регулярным, если оно взаимно однозначно и оба отображения f, f ^–1 Î C ¹.

Теорема (о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения ). Пусть задано отображение

,

определенное на D и x ⁰ = Î D внутренняя точка D. Если fÎC ¹ в окрестности точки x⁰ и ¹0 в точке x⁰, то существуют открытые множества U, V, x ⁰ Î U, y ⁰ ÎV, y ⁰ =f (x ⁰) такие, что f взаимно однозначно отображает U на, V. При этом отображение f ^{- 1} непрерывно дифференцируемо.

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f ₁ называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф такая, что

f ₁(x) = Ф(f ₂(x) ,f ₃(x) ,…,f_p (x)), " x Î D.

Функции y ₁ ,…,y_p называются функционально зависимыми в области D, если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций ). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций из класса C ¹

.

Тогда в любой точке D ранг rang < n.

Доказательство. Предположим для определенности, что

f_n (x) = Ф(f ₁(x), …,f_{n- 1}(x)), " x Î D.

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

.

Эти равенства означают, что n – ястрока матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк. Коэффициентами этой линейной комбинации являются частные производные.

Следствие 1. m= 0 и система зависимая. Тогда якобиан = 0 в области D.

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang =n в точке x ⁰, тогда система независима в D.

Замечание. Отметим, что условие функциональной зависимости связано с областью D. Система может оказаться независимой в D и зависимой в некоторой части этой области.

Теорема 2 (достаточное условие функциональной зависимости). Если

rang £ r < n в любой точке области D, а в некоторой точке x⁰ ранг rang = r

¹ 0.

Тогда

1) все r функций являются независимыми в области D,

2) существует окрестность точки x ⁰, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.

6.5. Условный экстремум

Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.