Дисперсія ДВВ та її властивості

Дисперсія - міра розсіювання можливих значень випадкової величини відносно центру розподілу.

Означення 1. Дисперсією дискретної випадкової велечни X називається число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрату відхилення X від її математичного сподівання і позначається D(X):

D(X)=M[(X - M(X))²]. (1)

Приклад 1. Знайти дисперсію випадкової величини X, яка означає кількість появи гербів при підкиданні трьох монет.

Розв'язання. Як відомо з прикладу 1 лекції 8, М(Х) = 1,5. Запишемо розподіли випадкових величин

(X-M(X))2	2,25	0,25	0,25	2,25
P	1	3	3	1

Х - М(Х) і (Х - М(Х))²_:

X-M(X)	-1,5	-0,5	0,5	1,5
P	1	3	3	1

 

Отже, згідно з рівністю (1), знаходимо

Теорема 1. (Формула обчислення дисперсії). Дисперсія дискретної

випадкової величини X дорівнює різниці між математичним сподіванням

квадрата випадкової величини X та квадратом її математичного сподівання:

D(X)= М(Х²)-(М(Х))². (2)

Дійсно, згідно з властивостями М(X), знаходимо

D(X)= M[X - M(X)]² = М[Х² - 2ХМ(Х)+ М²(Х)] =

= M (X²) - 2М(X)M(X)+M²(X)= M(X ²) – M ²(X)

Приклад 2. Знайти D(X) за формулою (2) у прикладі 1.

Розв'язання. Запишемо розподіл випадкової величини X². Зауважимо, що всі значення Х² знаходимо шляхом піднесення до квадрату відповідних значень X, а ймовірності цих значень не змінюються.

X2
P	1	3	3	1

Тоді ; M²(X) = (1,5)²=2,25.

Отже, D(X) = 3 - 2,25 = 0,75.

Розглянемо властивості дисперсії ДВВ X.

Д1°. Дисперсія ДВВ X невід'ємна, тобто DX)≥0.

Дійсно, величина (Х – М(Х))² невід'ємна, тому згідно з рівністю (1), враховуючи, що р_к ≥ 0 (k = 1,п), D(X)≥0.

Д2°. Дисперсія сталої величини С дорівнює нулю, тобто D(C) = 0.

Дійсно, М(С) = C, тому C - М(С) = 0, отже, D(C) = М(0) = 0.

Д3°. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши

його спочатку до квадрату: D(CX) = C²D(X). Дійсно, D(CX) = М(С²Х²)- М²(СХ) = C²M(x²)-(cm(x))² = c²(m(x²)-m²(x)) = c²d(x).

Д4°. Дисперсія алгебраїчної суми двох незалежних ДВВ X та Y дорівнює сумі їх дисперсій, тобто

D(X±Y) = D(X) + D(Y).

Доведення. а) Доведемо спочатку для Х+ Y. Згідно з рівністю (1)

і властивостями М(Х) маємо:

D(X+Y)= M(X+Y)²- (M(X+Y))² = M(X²+2XY+Y²)-

- (M(X) + М(Y))² = М(Х²) + 2M (X)М(Y) + М(Y²)-

- М² (X) - 2 М(X) M (Y) - М² (Y) =

= М(X²) - M²(X) + M(Y²)- M²(Y) = D(X) + D(Y).

б) D(X-Y)=D(X + (-1)Y)=D(X)+D((-1)Y)=D(X)+D(Y)

Наслідок 1. Дисперсія суми декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій.

D(X + Y+ Z) = D (X + Y) + D(Z) = D(X) + D(Y) + D(Z).

Наслідок 2. Дисперсія суми сталої величини С і випадкової

величини X дорівнює дисперсії випадкової величини X.

Дійсно, D(X+C) = D(X) + D(C)=D(X) + 0 = D(X).

Зауваження 1. Наслідок 2 означає, що зміщення випадкової величини не змінює її дисперсії.

 

9.2. Приклади обчислення диспер сій ДВВ.

Біномний розподіл.

Дисперсія біномного розподілу ДВВ X з параметрами п і р дорівнює npq, тобто D(X) = npq.

Таким чином, згідно з рівністю (2), знаходимо:

D(X)= М(Х²)-М²(Х) = п²р² – пр² + пр. – п²р² = np(1 – p) = npq.

Розподіл Пуассона.

Теорема 3. Дисперсія розподілу Пуассона з параметром λ ДВВ X дорівиює λ, тобто D(X)= λ

Доведення ЗАумовою ДВВ X має розподіл Пуассона, тому М(Х) = λ Знайдемо М(Х²) Для цього спочатку знаходимо

Враховуючи властивості математичного сподівання, маємо

M(X(X - 1))= M(X² - X) = M(X²)- M(X).

Підставимо одержані значення в останню рівність і знайдемо М(Х²)

λ²= М(Х²)- λ, звідки М(Х²) = λ² + λ .

Отже, D(X)= М(Х²)- М²(Х) = λ² + λ – λ² = λ².