Основні теоретичні положення. Інтерполяція — обчислення проміжних значень якої-небудь величини за деякими відомими її значеннями

Інтерполяція — обчислення проміжних значень якої-небудь величини за деякими відомими її значеннями. Інтерполяція використовується в багатьох прикладних напрямках наук про Землю. У метеорології інтерполюються дані спостережень метеостанцій для одержання карт погоди на великі території, інтерполюються дані океанологічних і гідрологічних вимірювань, будуються поля концентрацій речовин у різних середовищах та ін. У геології інтерполяція застосовується для побудови двовимірних і тривимірних моделей підземних масивів за даними точкових шпар.

Для створення інтерпольованої карти як мінімум необхідний набір точок з даними про їх просторове положення (координати х, у в користувальницькій системі або у вигляді широти/довготи) і кількісне значення параметра (z) у цих точках — висота, тиск, температура, концентрація забруднювача та ін. У більшості практичних випадків мережа таких вихідних точок (data point) нерегулярна, має різну щільність, великі розриви тощо.

Завданням просторової інтерполяції є побудова на основі мережі вихідних точок суцільної поверхні з заданим розміром кроку сітки вузлів, що розраховуються. Залежно від необхідної просторової точності вибирається різний крок (наприклад, ділянка розміром 10x10 км може бути інтерпольована із кроком 100 м (100x100 вузлів сітки) або з кроком 10 м (1000x1000 вузлів). На підставі числових значень точок даних розраховується значення для кожного вузла мережі, що інтерполюється. Звичайно процедура інтерполяції виконується для області прямокутної форми — растра (рис. 8.1).

Найбільш часто використовуваними методами інтерполяції є - Minimum Curvature, Kriging, Polynomial Regressin, Radial Bases Function, Triangulation with Linear Interpolation. До вибору процедури регуляризації необхідно підходити дуже уважно, і користуватись «незнайомою» процедурою доцільно лише після її ретельного опробування на тестових прикладах.

Карти, що побудовані за допомогою різних процедур інтерполяції, наведені на рис. 5.1.

Зауважимо, що всі карти побудовані в однаковій кольоровій гаммі для полегшення їх порівняння. Найбільш вірогідним є варіант карти, побудованої методом Triangulation with Linear Interpolation (лінійна інтерполяція в трикутниках

по найближчим трьом точкам). Безсумнівна перевага цього методу полягає в тому, що при такій інтерполяції не додається до карти «штучно» створена інформація, яка досить часто не є достовірною. Стосовно методів, які використовують процедуру екстраполяції, найбіль доцільно застосовувати три: Kriging (так і називається крігінг), Minimum Curvature (мінімальних кривих) і Radial Bases Function (радіальних, кругових функцій, фактично виконується сплайн-інтерполяція). Недоліком всіх цих методів можна вважати екстраполяцію даних на всю область побудов, але цей недолік усувається процедурою Grid - Blanc. Необхідно підкреслити ще одне: в даному випадку використовується тестовий приклад з дуже малим набором фактичного матеріалу. Якщо для побудов використовуються експериментальні дані з більшою густиною заповнення області побудов точками виміру параметра, різниця між картами по методах Kriging, Minimum Curvature і Radial Bases Function буде непомітною, і можна задавати будь-яку з цих процедур. Якщо ж даних мало, необхідно залучати апріорну інформацію для вибору того чи іншого алгоритму інтерполяції. Взагалі можна дати практичну рекомендацію використовувати Kriging, якщо виникає необхідність залишити побудови тільки там, де задані дані, використовуйте Grid-Вlanc.

Рисунок 5.1 - Порівняння різних методів регуляризації даних

Як випливає з характеристики методів просторової інтерполяції, кожний з них має свої достоїнства і недоліки, що мають бути враховані при виборі того чи іншого методу при розв'язанні конкретних завдань (рис. 8.6). Але вибір методу інтерполяції наявних даних залежить також від кількості вихідних точок даних і рівномірності їх розподілу в області інтерполяції. Виробники спеціалізованого програмного забезпечення для просторової інтерполяції — широко розповсюдженого пакета наукової графіки Surfer компанії Golden Software — розробили низку рекомендацій щодо вибору відповідного методу просторової інтерполяції.

Набір, що містить близько десяти точок, дозволить визначити не більш ніж загальні закономірності розподілу досліджуваного параметра. У цьому випадку рекомендуються методи кригінга і радіальних базисних функцій. Останні належать до нейромережного моделювання, яке тільки починає застосувуватися у просторовій інтерполяції в середовищі ГІС. Для побудови трендових поверхонь можна використовувати поліноміальну регресію.

При наборі менше 250 точок рекомендується кригінг із лінійною варіограмною моделлю. Набір з 250-1000 точок з оптимальною швидкістю обробляють тріангуляція з лінійною інтерполяцією, кригінг і радіальні базисні функції.

Коли набір налічує більше 1000 точок, швидка оцінка даних може бути зроблена з використанням методів мінімальної кривизни і тріангуляції з лінійною інтерполяцією. Точно, але порівняно повільно працюють методи кригінга і радіальних базисних функцій.

Зазначимо, що дуже великі набори даних не дають істотних розбіжностей у швидкості інтерполяції різними методами. Вибір методу залежить від вимог користувача і ресурсів системи.

Крім того, навіть найточніша процедура інтерполяції дає досить умовну картину реального розподілу характеристики, що картографується, у просторі. Одним із методів контролю правильності інтерпольованих карт є обчислення й порівняння різниці розрахованих значень зі значеннями вихідних даних. Отримана вибірка значень підлягає статистичній обробці, при перевищенні визначеного дослідником рівня в параметри інтерполяції вносяться необхідні зміни. Інтерпольована карта може коригуватися з використанням спеціальних редакторів, що дозволяють вручну змінювати значення кожного вузла сітки.

Готова інтерпольована карта репрезентує поверхню якого-не-будь просторового явища (рельєфу суші або дна, атмосферного тиску, вологості, температури, концентрації різних речовин у різних середовищах і т.ін.). Карти поверхонь надалі використовуються як для самостійного аналізу, так і для накладення на них плоских цифрових карт інших взаємозалежних характеристик. Підтримка роботи з поверхнями (3D-картами) входить у функціональний набір багатьох сучасних програмних ГІС-пакетів.