Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения с осями координат.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. При необходимости найти некоторые дополнительные точки, уточняющие график функции.
9. Построить график на основе проведенного исследования.
Пример 12.2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Найдем область определения функции.
Данная функция имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля:
; ; .
Таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме , т.е. .
2. Исследуем функцию на четность – нечетность.
Поскольку , то функция четная, а ее график симметричен относительно оси ординат.
3. Исследуем функцию на периодичность.
|
|
Данная функция не является периодической.
4. Найдем точки пересечения с осями координат.
Точка пересечения с осью ординат– : .
Точка пересечения с осью абсцисс– : . Это уравнение на области определения решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.
5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.
· Найдем производную заданной функции:
· Найдем точки, в которых
производная равна нулю – =0: при ;
производная не существует: при .
Однако критической является только точка , так как значения не входят в область определения функции.
· Исследуем изменение знака производной при переходе через критическую точку:
при ,при .
Таким образом, – точка минимума, а – минимум функции; на интервалах и функция убывает, на интервалах и функция возрастает.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
· Найдем вторую производную заданной функции:
.
· Найдем точки, в которых
вторая производная равна нулю – =0: – это уравнение на области определения решений не имеет;
вторая производная не существует: при .
Критических точек на перегиб нет, так как значения не входят в область определения функции.
· Исследуем изменение знака второй производной:
на интервалах и ,на интервале .
Таким образом, точек перегиба нет; на интервалах и график функции выпуклый, а на интервале – вогнутый.
7. Найдем асимптоты.
· Исследуем поведение функции вблизи точек разрыва :
, следовательно, прямая есть вертикальная асимптота. В силу симметричности графика функции также вертикальная асимптота.
|
|
· Выясним поведение функции на бесконечности:
.
Таким образом, прямая – горизонтальная асимптота.
· Найдем наклонную асимптоту.
.
Таким образом, наклонных асимптот нет.
9. График функции изображен на рисунке 12.1.
Рис. 12.1.График функции .