Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f (x2) > f (x1)(f (x2) < f (x1)).
Функция у = f (х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выполняется условие f (х) < f (х0)(f (х) > f (х0), х¹ х0.
Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции.
Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируемая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .
Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+ х принадлежат (а, b). Если >0, то f (x+ ) > f (x); если <0, то f (x + ) < f (x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .
Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.
|
|
Теорема 2. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [ а, b ] функция у = f (х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [ а, b ].
Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [ а, b ]. По формуле Лагранжа х1<с < х2. (с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому > 0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [ а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.