Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл, формула Ньютона – Лейбница, вычисление площадей плоских фигур

Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀, x ₁], [ x ₁, x ₂], …, [ x_i -1, x_i ], …, [ x_n -1, x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ x_i -1, x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_i -1, x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .

Геометрический смысл

Определённый интеграл {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми {\displaystyle x=a} и {\displaystyle x=b} и графиком функции {\displaystyle f(x)}.

Свойства:

Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

(теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.