Запись и название чисел в десятизначной системе исчисления. Теорема о существовании и единственности десятичной записи числа с доказательством

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел ис­пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З×103 + 7×102+4×10+5. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = аn×10n+аn-1×10n-1 +... + а1×10+ а0, где коэффициенты аn, аn-1,..., а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и аn ¹ 0. Сумму аn×10n+аn-1×10n-1 +... + а1×10 + а0 в краткой форме принято записывать так: Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде: х = аn×10n+аn-1×10n-1 +... + а1×10 + а0 (1)

где аn, аn-1,..., а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и такая запись единственна. Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления: х = аn×10n + аn-1×10n-1 +... + а1×10 + а0; y = bm×10m+bm-1×10m-1 +... + b1×10 + b0 Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий: а) n < т; б) п = т, но аk-1 < bk-1. в) п = т, аn = bn, …, аk = bk, но аk-1 < bk-1. Доказательство. В случае а) имеем: так как n < m, то 10n+1 £ 10m, а поскольку х < 10n+1 и 10m £ у, то х < 10n+1 £ 10m £ у, т.е. х < у. В случае б): если n = m, но аn < bn, то аn + 1 £ bn и поэтому (аn +1) × 10n £ bn × 10n. А так как х < (аn + 1) × 10n и bn × 10n £ у, то х < (аn + 1) × 10n < bn × 10n £ у, т.е. х < у.

Запись чисел в позиционной системе счисления. Теорема о существовании и единственности записи числа в позиционной системе исчисления. Переход от записи чисел в одной позиционной системе к записи в другой (3 задачи).

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·pn +an – 1·pn–1 + a1·p1 + a0·p0, где an...a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например, 103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100; 10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10. Теорема. Пусть Р - произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа Х в виде: Х = а n P n + a n-1 P n-1 +... + a 1 P + а 0 где 0 ≤ a i < P, 0 ≤ i ≤ n, a n ≠ 0. Доказательство Существование. Доказательство основано на методе построения, т.е. для произвольного натурального числа мы построим представление вида (5.1). Поскольку числа р 0, Р 1, р 2, р 3,... образуют монотонно возрастающую числовую последовательность, то существует такое натуральное число n, что P n ≤ X ≤ P n+1, Разделим интервал [P n; P n+1) на Р-1 равных частей, тогда границами полученных интервалов окажутся числа: x 1 = 1·Р n, x 2 = 2·Р n,..., x р = P·P n = P n+1. Длина каждого нового промежутка [x k; x k+1), где k = 1,..., Р -1, равна P n. Из проведенного построения следует, что число Х попадет в один из интервалов [x k; x k+1), то есть существует такое натуральное число k, 1 ≤ k < Р, что k·P n ≤ Х < (k + 1)P n Положим, а n = k < Р. Очевидно, что а n ≠ 0. Обозначим разницу между числом Х и левой границей x k соответствующего интервала как Y = Х - а n Р n. При этом 0 ≤ Y < P n по построению. Если Y = 0, то построение закончено, в противном случае, опять сравнивая уже величину Y с членами возрастающей последовательности: 1, Р, P 2, P 3,... P n, найдем целое число m такое, что P m ≤ Y<p m + 1, 0 ≤ m < n</p. Для номеров m+1 ≤ i ≤ n-1, положим, ai = 0 (таких номеров может и не оказаться, то есть m+1 = n) и вычислим a m. Для этого, как и ранее, разделим интервал [P m; P m+1) на Р-1 равную часть длиной P m и определим, в какую из них попадает число Y, т.е. среди целых значений h 0 ≤ h < Р найдем такое, что h·P m ≤ Y < (h+1)·P m Положим, а m = h < Р. Обозначим, Z = Y - Р. И вновь повторим рассуждения. Процесс обязательно завершится, так как на каждом шаге мы сравниваем оставшееся число все с меньшим количеством различных неотрицательных степеней числа Р. А как только результат очередного вычитания окажется меньше чем Р, мы положим его равным ему, и построение закончится. В результате получим, что Х = а n P n + а n-1 P n-1 +... + а 1 P + а 0, где 0 ≤ ai < Р, 0 ≤ i ≤ n, аn ≠ 0. Единственность. Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что некоторое натуральное число имеет два различных представления вида Х1 = а n P n + а n-1 P n-1 +... + а 1 P + а 0 и Х 2 = b m P m + b m-1 P m-1 +... + b 1P + b 0.

Покажем, что если m > n, то Х 2 > Х 1. Для доказательства оценим Х 2 снизу наименьшим возможным числом (b m = 1; b m-1 =... = b 1 = b 0 = 0). Тогда Х 2 ≤ 1·P m + 0·Pm-1 +... + 0·P + 0 = 0·Pm. Оценим Х 1 сверху наибольшим возможным числом (а n =... = а 1 = а 0 = P-1). Тогда Х 1 ≤ (Р-1)Р n+ (Р-1)р n-1 +...+ (Р-1)Р + (Р-1) = P n+1 - 1 < р n+1. Здесь для вычисления суммы использовалась формула суммы членов конечной геометрической прогрессии. Поскольку по предположению m ≥ n+1, то Х 1 < P п+1 ≤ Х2,т.е. Х 1 < Х 2. Следовательно, если Х 1 = Х 2, то n = m. Пусть далее существует такое k, что a i = b i при k + 1 ≤ i ≤ n = m, но a k ≠ b k. Сравним числа: Y 1 = X 1 - а n P n -... - а k+1 P k+1 и Y 2 = Х 2 - b n P n -... - b k+1 P k+1. Получим: Y 1 = а k P k +... + а 1 P + а 0,, Y 2 = b k P k +... + b 1 P + b 0, где a k ≠ b ≠ k. Тогда Y 1 ≠ Y 2 и, следовательно, Х 1 ≠X 2. Получили противоречие с исходным предположением о равенстве представлений (5.4а) и (5.4b), значит, a i = b i при 0 ≤ i ≤ n = m, и представление вида (5.1) для любого натурального числа единственно. Теорема доказана. Пример 1. Перевести двоичное число А2 = 1101001 в десятичную систему счисления (q2=10). 16150413020110 = 1*26 +1*25 + 0*24 +1*23 +0*22 +0*21 + +1*20 = 64+32+8+1=10510 Ответ: А10=105 Пример 2. Перевести двоичное число А2 = 1100 в десятичную систему счисления (q2=10) Переход от одной системы счисления к другой можно продемонстрировать на примере десятичного числа 12, которое в двоичном выражении выглядит так 1100.1100 = 1*2 3 + 1*22 + 0*2 1 + 0*2 0 = 8+4 = 12 = 1*101 + 2*10 0. Ответ: А10=12 В этом примере числа раскладываются на разряды. Число 1100 состоит из четырех разрядов, которые пронумерованы от нуля до трех, а число 12 – из двух.

Пример 3. Перевести десятичное число А=96 в троичную систему счисления (q2 = 3). 96 = 0*35 + 1*34 + 0*33+ 1*32 + 2*31 + 0*30 = 101203. Ответ: А3 = 10120.