2014-02-02
5309
Любое число в позиционной системе счисления можно представить в развернутой и свернутой форме.
Например, число 15936 в десятичной системе счисления можно записать так:
1593610 = 1 * 104 + 5 * 103 + 9 * 102 + 3 * 101 + 6 * 100,
где 1593610 - свернутая форма записи числа с указанием основания системы счисления, а 1 * 104 + 5 *103 + 9 *102 + 3 *101 + 6 *100 - развернутая форма записи числа в указанной системе счисления.
Двоичная система счисления
В двоичной с.с. для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Основание двоичной с.с. равно 2. Двоичное число представляет собой цепочку нулей и единиц.
Перевод целых чисел из десятичной с.с. в двоичную.
Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную чаще всего применяют два метода - метод разностей и метод поэтапного деления на основание системы счисления.
Метод разностей. Для перевода чисел этим методом используется таблица степеней числа 2.
| n | … | |||||||||||
| 2n | … |
Пример: переведем числа 25, 48, 105, 734 в двоичную с.с при помощи таблицы:
|
|
|
| … | |||||||||||
Метод поэтапного деления на основание с.с. заключается в последовательном выполнении действий:
1. Исходное число делим на основание с.с. с остатком в десятичной с.с.
2. Если частное от деления не равно 0, выполняем п.1.
3. Полученные остатки записываем последовательно от последнего к первому.
4. Полученная запись - искомое двоичное число.
Пример: переведем число 105 в двоичную с.с. методом поэтапного деления на основание с.с. (метод лестницы)
10510 = 11010012
Методом поэтапного деления можно перевести целое десятичное число в любую позиционную систему счисления.
Перевод целых чисел из двоичной с.с. в десятичную с.с.
Для того, чтобы перевести двоичное число в десятичную с.с. необходимо выполнить алгоритм.
Алгоритм перевода А2→А10
1. Записать число в развернутой форме записи.
2. Вычислить полученное значение суммы.
3. Результат - искомое десятичное число.
Пример: Переведем двоичное число 1000111012 в десятичную с.с.
1000111012 = 1 * 28 + 0 * 27 + 0 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 1 * 256 + 0 * 128 + 0 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 256 + 16 + 8 + 4 + 1 = 28510.
Аналогично переводятся числа из любой позиционной системы счисления в десятичную с.с.
Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Связь между ними.
|
|
|
Наиболее распространенными системами счисления, применяемыми в технике, являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная с.с.
| Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная | |
| Основание | |||
| Базис | 20, 21, 22, 23, 24,..., 2n | 80, 81, 82, 83, 84,..., 8n | 160, 161, 162, 163, 164,..., 16n |
| Алфавит | 0, 1 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
| A10 | A2 | A8 | A16 | A10 | A2 | A8 | A16 | |
| A | ||||||||
| B | ||||||||
| C | ||||||||
| D | ||||||||
| E | ||||||||
| F |
Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, минуя десятичную с.с. необходимо выполнить алгоритм.
Алгоритм перевода А2 → А8
1. Разбить двоичное число на тетры (группы по три цифры) справа налево.
2. По таблице перевести каждую тетру в восьмеричную цифру.
3. Записать полученное восьмеричное число.
Пример: переведем число из двоичной в восьмеричную с.с.
001 001 111 101 0112 = 117538
Для того чтобы перевести двоичное число в шестнадцатеричное, минуя десятичную с.с. необходимо выполнить алгоритм.
Алгоритм перевода А2 → А16
1. Разбить двоичное число на кварты (группы по четыре цифры) справа налево.
2. По таблице перевести каждую кварту в шестнадцатеричную цифру.
3. Записать полученное шестнадцатеричное число.
Пример: переведем число из двоичной в шестнадцатеричную с.с.
0001 0011 1110 10112 = 13ЕВ16
Арифметические операции в двоичной системе счисления.
Двоичная арифметика основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения цифр:
| + | * | |||||
Сложение. Таблица двоичного сложения проста. т.к. 1 + 1 = 10, то 0 остается в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.
Умножение. Операция умножение выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной с.с. с последовательным умножением одного множителя на очередную цифру другого множителя.
Вычитание. Операция вычитания выполняется с использованием таблицы сложения, по обычной схеме, применяемой в десятичной с.с. Однако при "заеме" единицы более старшего разряда, необходимо помнить, что каждая единица более старшего разряда равна основанию системы счисления, то есть в младший разряд при "заеме" приходит две единицы.
Деление. Операция деления выполняется по правилам, подобным правилам выполнения деления в десятичной с.с. при делении столбиком приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания.
