При эконометрическом моделировании реальных экономических процессов предпосылки КЛММР нередко оказываются нарушенными: дисперсии остатков модели не одинаковы (гетероскедастичность остатков), или наблюдается корреляция между остатками в разные моменты времени (автокоррелированные остатки). Тогда предпосылка «3» запишется следующим образом:
где Ώ – положительно определенная матрица.
Принимая, что дисперсия объясняющих переменных могут быть произвольными, мы получаем обобщенную линейную модель множественной регрессии (ОЛММР).
В этом случае оценка параметров модели осуществляется обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК):
Если модель гетероскедастична, то матрица Ώ – диагональная. Тогда имеем:
В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов называется взвешенным методом наименьших квадратов, поскольку мы «взвешиваем» каждое наблюдение с помощью коэффициента 1/σi.
На практике, однако, значения σi почти никогда не бывают известны. Поэтому сначала находят оценку вектора параметров обычным методом наименьших квадратов. Затем находят регрессию квадратов остатков на квадратичные функции объясняющих переменных, т.о. уравнение
|
|
Где f(x) – квадратичная функция.
Далее по полученном уравнению рассчитывают теоретические значения и определяют набор весов Затем вводят новые переменных и находят уравнение . Полученная оценка и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов.
Проверить модель на гетероскедастичность можно с помощью следующих тестов: ранговой корреляции Спирмена; Голдфельда-Квандта; Уайта; Глейзера.
Рассмотрим тест на гетероскедастичность, применяемый в случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, - тест Голдфельда-Квандта.
Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений фактора Х. затем выбираются m первых и m последних наблюдений.
Гипотеза о гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков e1,…,em и en-m+l,…,en представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.
Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью F – критерия Фишера.
Расчетное значение вычисляется по формуле (в числителе всегда большая сумма квадратов):
Гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по m наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F>Fα;m-p;m-p, где p – число регрессоров.
Мощность теста (вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда гетероскедастичности действительно нет) максимальна, если выбирать m порядка n/3.
|
|
Тест Голдфельда – Квандта позволяет выявить факт наличия гетероскедастичности, но не позволяет описать характер зависимостей дисперсий ошибок регрессии количественно.
Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) εi в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.
Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:
Значения критерия находятся в интервале от 0 до 4. По таблицам критических точек распределения Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений (n) и количества объясняющих переменных (m) находят пороговые значения dн (нижняя граница) и dв (верхняя граница).
Если расчетное значение:
, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);
или , то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);
, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.
Промежутки внутри интервала [0 - 4]
принимается альтернативная гипотеза о наличии положительнойавтокорреляции | вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности) | гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается) | вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности) | принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции |
Недостаток теста Дарбина – Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями. Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серий (Бреуша – Годфри), Q - тест Льюинга – Бокса и другие. Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.