Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H ₁, H ₂,..., H_n, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =Æ; i, j =1,2,..., n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W = .

Рис.8
В этом случае будем говорить, что H ₁, H ₂,..., H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет местоW Ì формула полной вероятности:
P (A) = P (A / H ₁) P (H ₁) + P (A / H ₂) P (H ₂) +...+ P (A / H_n) P (H_n) =

Формула Байеса(Бейеса)

Пусть H ₁, H ₂,..., H_n - полная группа событий и А Ì W – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(1)

Здесь P (H_k / A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (1) можно представить в виде

P = P = P (A / H_k) P (H_k)

Для представления знаменателя формулы (1) можно использовать формулу полной вероятности

Теперь из (1) можно получить формулу, называемую формулой Байеса: