Во многих случаях рассмотренный выше способ расчёта надежности не может быть использован, так как не всегда структурная схема надёжности сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.
Расчёт надёжности систем со сложной структурой рассмотрим на примере мостиковой структуры, изображенной на рис. 5.4 а, б. Данная структура не сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.
Мостиковая схема представляет собой параллельное соединение последовательных цепочек элементов с диагональными элементами, включенными между узлами различных параллельных ветвей (элемент 5 на рис. 5.4, а, и элементы 7 и 8 на рис. 5.4, б).
| |||||||||
| |||||||||
|
Определим вероятность безотказной работы (вероятность отказа) мостиковой структуры, если известны вероятности безотказной работы (вероятности отказа) всех её элементов.
|
|
Метод перебора состояний. Каждый элемент системы может находиться в двух состояниях: состоянии работоспособности и состоянии отказа. При этом число состояний , где – число элементов системы.
Вероятность работоспособности системы при независимости отказов элементов определяется произведением вероятностей каждого из состояний
, (5.14)
вероятность отказа
, (5.15)
где – общее число работоспособных состояний, в каждом -м из которых число исправных элементов равно , а вышедших из строя – .
Метод перебора состояний эффективен только при малом количестве элементов n, поскольку число состояний системы составляет . Например, для схемы на рис. 5.4, а их количество составит 32, а для схемы на рис. 5.4, б – 256. Некоторого упрощения можно достигнуть, если в таблицу состояний включать только сочетания, отвечающие только работоспособному (или только неработоспособному) состоянию системы в целом.
Расчёт простейшей мостиковой структуры (рис. 5.4, а) методом перебора состояний представлен в табл. 5.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния элементов, а знаком минус – неработоспособные. В данную таблицу включены только работоспособные сочетания элементов системы, что позволило снизить число состояний с 32 до 16.
Таблица 6.1
Расчёт мостиковой схемы методом перебора состояний
Номер состояния | Состояние элементов | Вероятность состояний | |||||||||
+ | + | + | + | + | |||||||
- | + | + | + | + | |||||||
+ | - | + | + | + | |||||||
+ | + | - | + | + | |||||||
+ | + | + | - | + | |||||||
+ | + | + | + | - | |||||||
- | + | - | + | + | |||||||
- | + | + | - | + | |||||||
- | + | + | + | - | |||||||
+ | - | - | + | + | |||||||
+ | - | + | - | + | |||||||
+ | - | + | + | - | |||||||
+ | + | - | + | - | |||||||
+ | + | + | - | - | |||||||
- | + | - | + | - | |||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
|
|
Вероятность безотказной работы системы согласно (5.14)
.
Используя соотношение , выражение для определения вероятности безотказной работы системы примет вид
. (5.16)
В силу очень большого числа состояний системы, метод прямого перебора является весьма трудоемким и редко применяется на практике.
Метод разложения относительно особого элемента. Данный метод основан на формуле полной вероятности []. В анализируемой системе необходимо выделить особый элемент. Все его возможные состояния образуют полную группу . Если анализируемое состояние системы , то его вероятность
. (5.17)
Второй сомножитель в (5.17) определяет вероятность состояния А при условии, что особый элемент находится в состоянии . Рассмотрение -го состояния особого элемента как безусловного (работоспособное и неработоспособное) позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.
На мостиковой схеме (рис. 5.4, а) выделим элемент 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 – наличие и 2 – отсутствие цепи) ; . Это позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 5.4, а, перейти при безусловно работоспособном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 5.5, а. При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 5.5, 6. При этом выражение (5.17) можно представить в виде
, (5.18)
где и – вероятности безотказной работы и отказа 5 -го (особого) элемента, и – вероятности работоспособного состояния системы при условии, что особый элемент 5 абсолютно надежен и отказал.
В соответствии с (5.1) и (5.7) имеем
;
;
(5.19)
Легко убедиться, что в случае подстановки соотношения формула (5.19) обращается в (5.16).
Данный метод справедлив и при разложении относительно нескольких «особых» элементов. Например, для мостиковой схемы с двумя диагональными элементами 7 и 8 (рис. 5.4, б) выражение (5.19) будет иметь вид
. (5.20)
Метод минимальных путей и сечений.
Минимальный путь – это последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает её работоспособность, а отказ любого из них приводит к её отказу.
При формировании пути, принимая, что все элементы системы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов цепочек элементов, которые в случаи своей работоспособности обеспечивали работоспособность системы. Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в последовательном соединении, а сами пути включаются параллельно.
Для мостиковой схемы (рис. 5.4, а) набор минимальных путей представлен на рис. 5.6, а.
Вероятность безотказной работы данной схемы представляет собой оценку надёжность сверху и может быть вычислена согласно (5.1) и (5.7)
.
Минимальное сечение – это последовательный набор неработоспособных элементов системы, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них – к восстановлению работоспособности системы.
При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то они соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.
|
|
Для мостиковой схемы (рис. 5.4, а) набор минимальных сечений представлен на рис. 5.6, б. Вероятность безотказной работы такой схемы представляет собой оценку надёжность снизу и может быть вычислена согласно (5.1) и (5.7)
.
На основе оценки надёжности сверху и снизу получается двусторонняя оценка, выражающаяся через неравенство
,
где – истинная вероятность безотказной работы системы.
Для систем состоящих из не большого числа элементов вероятность безотказной работы сверху и снизу может совпадать. Для более сложных систем этого может не произойти, поэтому для оценки надежности методы минимальных путей и минимальных сечений следует применять совместно.
Логико-вероятностный метод анализа надежности. Теоретической основой данного метода является математическая логика (булева алгебра) [], которая оперирует с логическими выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Логические выражения называемые функциями алгебры логики (ФАЛ) являются функциями логических переменных , , …, , каждая из которых также имеет значения 0 или 1.
ФАЛ образуются при помощи трех основных операций: логического отрицания или инверсии (), сложения (дизъюнкции, ИЛИ), обозначаемого знаком «+» или «», и умножения (конъюнкции, И), обозначаемого «» или «».
ФАЛ имеют следующие формы:
Элементарная конъюнкция – это логическое произведение переменных и их отрицаний (инверсий), причем каждая переменная должна входить в выражение только один раз ( или ).
Элементарная дизъюнкция – это логическая сумма переменных и их инверсий, причем каждая переменная должна входить в выражение только один раз ( или ).
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это дизъюнкция элементарных конъюнкций ().
|
|
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – это конъюнкция элементарных дизъюнкций ().
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в каждом члене которой представлены все переменные (или их инверсии) функции. Для перехода от ДНФ к СДНФ необходимо в каждый из членов, в которых представлены не все аргументы, ввести выражение вида , где – отсутствующий в члене аргумент.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, в каждом члене которой представлены все переменные (или их инверсии) функции. Переход от КНФ к СКНФ аналогичен рассмотренному выше переходу от ДНФ к СДНФ.
Для преобразования логических выражений используются следующие законы математической логики:
· закон тавтологии: ; ;
· законы нулевого элемента: ; ;
· законы единичного элемента: ; ;
· закон дополнительного элемента (в булевой алгебре дополнительным элементом является инверсия): ; ;
· закон коммутативности: ; ;
· закон ассоциативности: ; ;
· закон дистрибутивности: ; ;
· закон дуальности (инверсии, Де-Моргана): ; ;
· закон поглощения: ; .
Применительно к расчетам надёжности систем, ФАЛ называются функциями работоспособности (надежности), где состояния элементов – работоспособное, соответствующее логической 1 и – неработоспособное, соответствующее логическому 0. Функции работоспособности могут задаваться в виде словесного описания функционирования системы, таблицами истинности, логическими выражениями или графиками.
Рассмотрим структурную схему представляющую собой последовательное (основное) соединение элементов (рис. 5.7).
|
Обозначим , i=1, 2, …, n – состояние i -го элемента системы, обозначаемое 0, если элемент находится в неработоспособном состоянии, и 1, если в работоспособном. В данном случае система работоспособна, если работоспособны все её элементы. Тогда ФАЛ является конъюнкцией логических переменных, т.е. , представляющей собой СДНФ системы.
Подставляя вместо логических переменных вероятности работоспособных состояний элементов и проводя замену конъюнкции на алгебраическое умножение, получим
.
Рассмотрим структурную схему представляющую собой параллельное (резервное) соединение двух неравнонадежных элементов (рис. 5.8).
На рис. 5.8 и – состояния элементов системы. Для получения ФАЛ составим таблицу истинности (табл. 5.2), где 1 – работоспособное состояние элемента, 0 – неработоспособное состояние элемента.
В данном случае система работоспособна, если работоспособны оба элемента (1,1) или один из них ((0,1) или (1,0)). Тогда работоспособное состояние системы описывается следующей ФАЛ
.
Таблица 5.2
Таблица истинности для параллельного (резервного) соединения
двух неравнонадежных элементов
Данная функция алгебры логики является СДНФ. Заменяя операции дизъюнкции и конъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения, а логические переменные – на соответствующие вероятности состояния элементов, получим выражение вероятности безотказной работы системы
.
Рассмотрим мостиковую схему с одним диагональным элементом c позиции алгебры логики (рис. 5.8).
|
Для анализа надёжности данной структуры воспользуемся, рассмотренным выше, методом минимальных путей и сечений. Обозначим , , , , – состояния 1, 2, 3, 4 и 5 элементов системы соответственно, равные 1, если элемент работоспособен, и 0, если неработоспособен.
В данном случае кратчайшими путями, образующими работоспособную систему, будут: , , , . Тогда функция работоспособности системы
. (5.21)
Минимальными сечениями, образующими работоспособную систему, будут , , , . Тогда функция работоспособности системы
. (5.22)
Однако, полученные ФАЛ (5.21) и (5.22) не являются выражениями для определения вероятности безотказной работы системы. Данные ФАЛ позволяют, не составляя таблицы истинности, получить СДНФ или СКНФ, которые дадут возможность получить вероятность безотказной работы системы путем подстановки в ФАЛ вместо логических переменных соответствующих значений вероятностей безотказной работы, заменив операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения.
Для получения СДНФ необходимо каждый дизъюнктивный член ФАЛ умножить на (), где – недостающий аргумент, и затем раскрыть скобки. СДНФ системы применительно к методу кротчайших путей будет иметь вид
. (5.23)
После преобразования по правилам алгебры логики выражение (5.23) примет вид
.
Подставляя в СДНФ вместо , , , , вероятности безотказной работы , , , , и используя соотношения , получим выражение для определения вероятности безотказной работы системы
.
Расчет вероятности безотказной работы системы по методу минимальных сечений производится аналогично. Для простейшей мостиковой схемы (рис.6.8) конечные выражения для определения вероятности безотказной работы системы по обеим методам будут совпадать.