Целые числа в позиционных системах счисления

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью общего Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно увеличить самую правую цифру числа на единицу; если в результате этой операции какая-либо цифра стала нулем, то тогда нужно увеличить цифру, стоящую слева от неё на единицу.

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Системы счисления для компьютера.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);

· шестнадцатеричная (для первых десяти цифр от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих цифр — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Для технической реализации в компьютерах используется двоичная система счисления, потому, что она намного проще десятичной в реализации:

а) для нее нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

б) возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы использовать компьютер, следует понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Правило: Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: достаточно каждую цифру числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр для восьмеричной) или тетрадой (четверкой двоичных цифр для 16-ой системы).

Например: 153₈= 001 101 011₂ _.

Правило:Чтобы, наоборот, перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например: 010 100 111₂ = 247_8.

Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления.

Правило:При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается тогда, как последовательность остатков от деления, но записанных в обратном порядке, начиная с последней цифры.

Пример: Перевести число 75₁₀ из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: