Перевод чисел из одной системы счисления в другую можно проводить по общему правилу. Для того чтобы целое число из системы счисления с основанием р1, перевести в систему счисления с основанием р2, нужно последовательно делить его на р2, выраженное в системе с основанием р1. Результат — остатки от промежуточных делений, записанные справа налево.
Например, нужно десятичное число 47 перевести в шестеричную систему счисления:
42 | ||
6 | ||
Таким образом, 4710 = 1156.
Или десятичное число 136 переведем в восьмеричную систему счисления:
136 | ||
16 | ||
Таким образом, 13610 = 2108.
Теперь попробуем перевести десятичное число в систему счисления с основанием больше 10, например в 14-ричную. Очевидно, что при последовательном делении па 14 у нас могут получаться промежуточные остатки от 0 до 13, и привычных цифр нам не хватит. Условимся о следующих обозначениях: 10- А; 11 - В; 12 - С; 13 - D.
Переведем десятичное число 251 в 14-ричную систему счисления:
|
|
238 | ||
14 | ||
С учетом нашей договоренности о «новых» цифрах имеем: 25110=13D14.
Интересно, как будет выглядеть десятичное число 251, например, в пятеричной системе счисления:
250 | |||
50 | |||
10 | |||
Таким образом, 25110 = 13D14 = 2 0015.
На этом примере мы хотим вернуться к выводу, что число и количество — понятия разные. Теперь можно объяснить это, сказав, что в различных системах счисления одно и то же количество выражается разными числами.
При обратном переводе удобнее «расписывать» числа по степеням, начиная с младших разрядов.
Двоичная система счисления строится но тем же правилам, что и остальные позиционные системы. Возьмем десятичное число, например 97,31, и представим его в двоичной системе счисления, при этом в смешанном числе целая и дробная части переводятся по-разному: целая — путем последовательного деления на основание системы, в которую осуществляется перевод, а дробная — путем последовательного умножения. Результат же записывается совместно, через запятую, в данном случае это двоичная запятая:
9710 = 11000012
96 | ||||||
48 | ||||||
24 | ||||||
12 | ||||||
6 | ||||||
2 | ||||||
Для точности перевода можно выбрать более большое число знаков после запятой.
0,3110 = 0, 01001111 2
0,31*2= 0,62
0,62*2= 1,24
0,24*2= 0,48
|
|
0,48*2= 0,96
0,96*2= 1,92
0,92*2= 1,84
0,84*2= 1,68
0,68*2= 1,36
При умножении результата повторно на 2, необходимо оставлять только цифры после запятой.
Таким образом, 97,3110 = 0,010011112
Над числами, представленными в различных системах счисления, можно выполнять арифметические операции так же, как это мы делаем с десятичными числами. Сложим в столбик два пятиричных числа:
43243
Почему получился такой результат? Выпишем числа по порядку в пятеричной системе счисления:
0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114, 120...
Вспомним, что в этой системе есть только пять цифр, это 0, 1, 2, 3, 4, и после числа 4 следует 10, после 14 - 20, после 44 — 100, после 444 — 1000 и т.д., т.е. осуществляется переход в следующую позицию (разряд).
А теперь сложим два 15-ричных числа. Цифры этой системы таковы:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е.
1CD93
+ 5Е6А4
Задание:
1. Перевести целые десятичные числа 910, 1710 и 24310 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
2. Перевести десятичные дроби 0,210 и 0,3510 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.
3. Перевести десятичные числа 3,510 и 47,8510 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.
4. Ответить на вопросы учебник Цв., стр.56 вопросы 1, 2.