Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:

m_x- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна. m_x / n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х < х, т. е. эмпирическая функция стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):

1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];

2) неубывающая;

3) если х_i -наименьшая варианта, то