Глава 2 Общие понятия о распределении случайных величин

2.1 Представления эмпирических распреде­лений.

Одним из самых простых преобра­зований статистических данных является их упорядочение по величине. Пусть (х₁,..., х_n) - выборка объемаn из гене­ральной совокупности X. Ее можно упорядочить, расположив значения в неубывающем порядке, образуя «вариационный ряд»:

x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ x_(i)≤… ≤ x_(n) (2.1)

где x₍₁₎- наименьший, x_(n)- наибольший из элементов выборки.

x_(i)(иногда обозначают Z_(i))соответственно - члены вариацион­ного ряда.

Распределение случайной величины на шкале подчиняется определённым законам, может, например, концентрироваться в центре интервала шкалы или наоборот, рассеиваться равномерно в пределах некого интервала. От распределения случайной величины зависит способ обращения с ней, способ её оценки.

Наиболее простой характеристикой распределения и одновременно способом упорядочения случайной величины является статистический ряд. Это таблица, которая в первой строке содержит значения Z_(i), а во второй - числа их повторений (табл. 2.1). Число n_i называют частотой,а отношение n_i/n - относительной частотой.

Таблица 2.1Статистический ряд

Z(1)	Z(2)	…	Z(m)
n1	n2	…	nm

Статистические данные,представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Разновидностьстатистического ряда - интервальный статистический ряд ( таблица 2.2). В интервальном статистическом ряде исходные данные группируют следующим образом: отрезок J, содер­жащий все выборочные значения, разбивают на mпромежутков J_i, как правило, одинаковой длины. При этом считают, что каждый промежуток содержит своё левое граничное значение, но лишь по­следний промежуток содержит и своё правое граничное значение.

Таблица 2.2 Интервальный статистический ряд

J1	J2	…	Jm	J
n1	n2	…	nm

Иногда в верхней строке табл. 1.2 указывают не интервал, а его середину, а в нижней строке вместо частоты записывают относительную частоту. Число промежутков m, на которые разбивают отрезок J, выбирают в зависимости от объема выборки n одним из следующих способов:

- по формуле Стержеса: m = 1 + 3,32·lg n;

- с помощью таблицы 2.3.

Таблица 2.3 Выбор числа интервалов вариационного ряда

Объем выборки, n	25-40	40-60	60-100	100-200	Больше 200
Число интервалов, m	5-6	6-8	7-10	8-12	10-15

- по формуле (2.2)

Статистический или интервальный ряд можно представить графиком, называемым гис­тограммой (рис. 2.1), составленным из прямоугольников с высотами n_i или n_i/n. Нетрудно увидеть, что в последнем случае суммарная площадь всех прямоугольни­ков, образующих такую диаграмму, равна 1:

(2.3)

Рис. 2.1.Гис­тограмма случайной величины X

Наряду с гистограммой часто для приближенного описания функции р(х) используют другое графи­ческое представление, которое называют «полигоном частот». Это ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоуголь­ники в гистограмме (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Гистограмма (пунктир) и полигон частот эмпирическойфункциирас­пределения

2.2 Плотность и интегральная функция рас­пределения

По виду гистограммы или полигона частот можно судить о характере плотности рассеяния случайной величины X. Например, по распределениям, представленным на рис. 1.1 и 1.2, видно, что плотность рас­пределения максимальна в середине рассматриваемого интервала шкалы x и минимальна по краям.

Эмпирической плотностью рас­пределения называют функцию, которая во всех точках интервала J принимает значение относительных частот, а вне интервала Jравна нулю (2.4).

(2.4)

Если длина промежутков J_k достаточно мала и объем выборки n велик, то с вероятностью, близкой к 1, можно утверждать, что величина n_i/nявляется статистическим ана­логом плотности распределения непрерывной случайной величины X (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Графики плотности распределения дискретной и непрерывной случайных величин (D - наибольшее возможное значение дискретной величины d, X_min, X_max - пределы, за которыми f(x)=0.

Эмпирической (интегральной) функцией распреде­ленияназывают скалярную функцию F_n(x), которая определе­на следующим образом:

(2.5)

где n - объем всей выборки, n(x) - "накопленный объем" для интервала (x_min - x). Иначе говоря, она определяет вероятность того, что случайная величина меньше или равна x. При этом для дискретного распределения функция F_n(x)кусочно-постоянна и изменяется скачками в каждой точке перехода к следующему интервалу. На рис. 2.4 показано, что величина каждого очередного «скачка» равна относительной частоте соответствующего интервала.

Рис. 2.4. График интегральной функции дискретного распределения

На рис. 2.5 показано в сравнении принципиальное различие интегральной функции F_n(x) дискретного и непрерывного распределения: в отличие от дискретного при непрерывном распределении F_n(x) увеличивается непрерывно, достигая 1 (единицы) при максимальном значении x.

Рис. 2.5 Графики интегральных функций дискретного и непрерывного распределения в сравнении.

Для наглядного представления о связи плотности f(x) и интегральной функции F(x), они приведены совместно для произвольного распределения на рис. 2.6. Можно наблюдать, что F(x) представляет собой площадь под кривой f(x) в интервале от -∞ до значения x_i. Таким образом, интегральная функция F(x) в интервале значений х₁ и х₂ (иначе - вероятность попадания величины x в интервал значений от х₁ до х₂ {х₁ < X < х₂})равна разнице площадей F(x₂) - F(x₁), то есть заштрихованной площади под f(x) между х₁ и х₂ (см. рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Плотность (f) и функция (F) произвольного распределения непрерывной случайной величины.