Классическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяется равенством

,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом общее число элементарных исходов испытания равно 6*6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков - четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым - число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков):

1) 6, 2; 6+2=8, 2) 6, 4; 6+4=10, 3) 6, 6; 6+6=12, 4) 2, 6; 2+6=8, 5) 4, 6; 4+6=10.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Р = 5/36.

Задачи.

2.100. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?

2.101. Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5% произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность события А = {деталь бракованная}.

2.102. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А = {число очков равно 6}, В = {число очков кратно трем}, С = {число очков четно}, D = {число очков меньше пяти}, Е = {число очков больше двух}.

Подбрасываются две игральные кости. В задачах 2.103. - 2.105. найти вероятности указанных событий.

2.103. А = {числа очков на обеих костях совпадают}, В = {число очков на первой кости больше, чем на второй}.

2.104. С = {сумма очков четна}, D = {сумма очков больше двух}.

2.105. Е = {сумма очков не меньше пяти}, F = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}, G = {произведение выпавших очков равно 6}.

2.106. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: А = {число одинаково чи­тается как слева направо, так и справа налево (как, напри­мер, 13531)}, В = {число кратно пяти}, С = {число состоит из нечетных цифр}.

2.107. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным пред­метам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Сту­дент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном экспери­менте, если считать, что любое расписание из трех предме­тов равновозможно?

2.108. Зенитная батарея, состоящая из п орудий, произ­водит залп по группе, состоящей из т самолетов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от осталь­ных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету.

2.109. Пяти полевым радиостанциям разрешено во время учений работать на шести радиоволнах. выбор волны на каждой станции производится на удачу. найти вероятности следующих событий: А = {при одновременной работе всех пяти радиостанций хотя бы две волны не совпадут}, В = {будут использованы различные радиоволны}.

2.110. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?

2.111. Каждое из 8 вычислительных устройств обслуживается одним оператором. в штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.

2.112. Монета бросается до тех пор, пока не появится подряд два гер­ба или же две решки; после этого бросания прекращаются. Построить
для этого опыта пространство элементарных событий и выделить в
нем подмножество, соответствующее событию А = {понадобится не
более трех бросаний}. Можно ли здесь найти вероятность события
как отношение числа элементарных событий, благоприятных А, к общему числу элементарных событий, и если нет, то почему?

2.113. Правильный многогранник, имеющий k граней (k > 3) с номерами 1, 2,..., k, бросается наугад на плоскость; при этом он падает на ту или другую грань; возможные значения числа граней; k = 4 (тетраэдр); k = 6 (куб); k = 8 (октаэдр); k = 12 (додекаэдр); k = 20 (икосаэдр). Найти для каждого из многогранников вероятность события А = {многогранник упал на грань, номер которой не превышает чис­ла k/ 2}.

2.114. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад
один шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый.

2.115. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар
и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из
урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже
будет белым.

2.116. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынули один шар
и не глядя отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один
шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, тоже белый.

2.117. Из урны, содержащей а белых и b черных шаров, вынимают
один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что
последний оставшийся в урне шар будет белым.

2.118. Из урны, в которой а белых и b черных шаров, вынимают
подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

2.119. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна семи;

б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпав­ших очков равна пяти. а произведение — четырем..

2.120. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тща­тельно перемешаны. Найти вероятность того, что науда­чу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

2.121. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

2.122. В коробке шесть одинаковых, занумерованных ку­биков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков по­явятся в возрастающем порядке.

2.123. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).

2.124. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке
появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14
(четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным.

2.125. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из
них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число
на второй карточке будет больше, чем на первой.