Непрерывные случайные величины и некоторые важные для практики распределения случайных величин

Множество возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно; не дискретные случайные величины характеризуются тем, что множество их возможных значений несчетно. Примеры недискретных случайных величин: дальность обнаружения объекта радиолокатором; время опоздания поезда; погрешность измерения угла с помощью угломера. У всех этих случайных величин множество возможных значений несчетно, так как непрерывно заполняет какой-то участок оси абсцисс.

Напомним, как определяется функция распределения случайной величины Х:

, (5.2.1)

Функция распределения существует для любых случайных величин, как для дискретных, так и для не дискретных.

Если функция распределения F(x) случайной величины Х при любом х непрерывна и, кроме того, имеет производную везде, кроме, может быть отдельных точек (рис. 5.7), то случайная величина Х называется непрерывной.

рис. 5.7

Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывно возрастает, а в отдельных точках имеет разрывы (рис. 5.8), то случайная величина называется смешанной. Функция F(x) для смешанной случайной величины, как и для дискретной, непрерывна слева.

 

 

рис. 5.8

 

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Вероятность каждого отдельного значения смешанной случайной величины, лежащего на участке непрерывности F(x), также равна нулю, а вероятность каждого из тех значений , в которых функция F(x) совершает скачки, численно равна значению соответствующего скачка.

Для любой случайной величины (дискретной, непрерывной или смешанной) вероятность попадания случайной величины на участок оси абсцисс от до (включая и не включая ) выражается формулой

. (5.2.2)

Так как для непрерывной случайной величины , то знак равенства в этом случае в (5.2.2) можно отбросить

, (5.2.3)

или в других обозначениях

. (5.2.4)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения:

(5.2.5)

Элементом вероятности для непрерывной случайной величины Х называется величина , приближенно равная вероятности попадания случайной величины Х на элементарный отрезок dx, примыкающий к точке x:

(5.2.6)

Плотность любой случайной величины неотрицательна () и обладает свойством

. (5.2.7)

График плотности называется кривой распределения.

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до определяется выражением

. (5.2.8)

Функция распределения случайной величины Х выражается через ее плотность:

. (5.2.9)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле

 

. (5.2.10)

Математическое ожидание смешанной случайной величины с функцией распределения вычисляется по формуле

(5.2.11)

где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл – на все участки ее непрерывности. Когда M[X] надо обозначить одной буквой, будем писать .

Дисперсия непрерывной случайной величины Х

вычисляется по формуле

(5.2.12)

Дисперсия смешанной случайной величины выражается формулой

, (5.2.13)

где сумма распространяется на все точки разрыва функции , а интеграл – на все участки ее непрерывности.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

. (5.2.14)

Для неотрицательной случайной величины в качестве характеристики меры ее случайности иногда применяется коэффициент вариации

(5.2.15)

Заметим, что коэффициент вариации зависит от «начала отсчета» случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение может быть применено для ориентировочной оценки диапазона возможных значений случайной величины. При этом пользуются так называемым правилом трех сигма, состоящим в том, что диапазон практически возможных значений случайной величины Х не выходит за пределы

. (5.2.16)

Это правило справедливо и для дискретной случайной величины.

Начальный момент k -го порядка

для непрерывной и смешанной случайных величин выражается соответственно формулами

(5.2.17)

(5.2.18)

Центральные моменты вычисляются по аналогичным формулам:

(5.2.19)

(5.2.20)

 

Центральные моменты могут быть выражены через начальные совершенно также, как для дискретной случайной величины. Наибольший практический интерес имеет выражение дисперсии через второй начальный момент:

(5.2.21)

или в другой форме

(5.2.22)

Если вероятность какого либо события А зависит от того, какое значение приняла непрерывная случайная величина Х с плотностью f(x), то полная вероятность события А вычисляется по интегральной формуле полной вероятности

, (5.2.23)

где - условная вероятность события А при гипотезе .

Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Бейеса. Если в результате опыта имело место событие А, вероятность которого зависит от того, какое значение приняла непрерывная случайная величина Х, то условная плотность этой случайной величины с учетом появления события А равна

, (5.2.24)

или же с учетом (5.2.23)

. (5.2.25)

Формула (5.2.25) называется интегральной формулой Бейеса.

В схеме непрерывных случайных величин применяется также интегральная формула полного математического ожидания

(5.2.26)

где Х – любая случайная величина; Y – непрерывная случайная величина с плотностью f(y); M[X|y] – условное математическое ожидание случайной величины Х при условии, что случайная величина Y приняла значение y.

 

Некоторые важные для практики распределения случайных величин:

1.) Равномерное распределение. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность на этом участке постоянна:

(5.2.27)

Значения f(x) в точках а и b никак не определены; это и не существенно, так как вероятность попадания в любую из них равна нулю, и, значит, вероятность любого события, связанного со случайной величиной Х, не зависит от того, какое значение имеет плотность f(x) в точках а и b. (В дальнейшем, задавая плотность f(x) разными формулами на разных участках оси Ох, мы также не будем указывать значения f(x) на границах участков.) График плотности вероятности равномерного распределения показан на рис.5.9.

рис. 5.9 рис. 5.10

Математическое ожидание, дисперсия и ее среднее квадратическое отклонение для случайной величины Х, имеющей плотность (5.2.27), равны соответственно:

(5.2.28)

Равномерное распределение имеет ошибки грубых измерений при помощи инструмента с крупными делениями, когда измеренное значение округляется до ближайшего целого (или до ближайшего меньшего, или же до ближайшего большего). Например, ошибка (в сантиметрах) измерения длины карандаша с помощью линейки с сантиметровыми делениями имеет равномерное распределение на участке (-1/2;1/2), если округление производится до ближайшего большего целого, и на участке (0;1), если до ближайшего меньшего. Также равномерное распределение имеет ошибку (в минутах) указания времени часами со скачущей минутной стрелкой [участок (0;1)]. Равномерное распределение на участке (0;2π) имеет угол поворота Ф хорошо уравновешенного колеса (рис. 5.10), если оно приводится во вращение и останавливается в результате трения.

Типичные условия возникновения равномерного распределения состоят в следующем: точка М случайным образом бросается на ось 0х, разделенную на равные интервалы длины l (рис. 5.11). Каждый из случайных отрезков X и Y, на которые делит точка М тот интервал, на который она попала, имеет равномерное распределение на участке (0; l).

рис. 5.11

В дальнейшем вместо подобной записи (5.2.27) для плотности равномерного распределения мы часто будем пользоваться более краткой формой

(5.2.29)

2.) Показательное распределение. Случайная величина Х имеет показательное распределение, если ее плотность выражается формулой

(5.2.30)

где λ – параметр показательного распределения (рис. 5.12). Показательное распределение имеет большое значение в теории марковских случайных процессов и теории массового обслуживания.

Если на оси времени 0t имеется простейший поток событий с интенсивностью, то интервал времени Т между двумя соседними событиями имеет показательное распределение с параметром λ.

 

λ

рис. 5.12

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичесое отклонение случайной величины Х, имеющей показательное распределение, равны соответственно:

(5.2.31)

Коэффициент вариации показательного распределения равен единице:

.

Подобную запись показательного распределения (5.2.30) мы часто будем заменять более краткой:

или совсем краткой

3.) Нормальное распределение. Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределена по нормальному закону), если ее плотность

(5.2.32)

(рис.5.13).

 

рис. 5.13

Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение (5.6.6), равно m, дисперсия , среднее квадратическое отклонение . Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нормальное распределение с параметрами m и , на участок от до выражается формулой

(5.2.33)

где Ф (х) – функция Лапласа:

. (5.2.34)

Функция Лапласа обладает свойствами: 1) Ф (0)=0; 2)Ф (-х)= -Ф (х) (нечетная функция); Ф ( ∞ ) = 0,5.

Если участок симметричен относительно точки m, то вероятность попадания в него

(5.2.35)

где - половина длины участка.

Нормальное распределение возникает тогда, когда величина Х образуется в результате суммирования большого количества независимых (или слабо зависимых) случайных слагаемых, сравнимых по своему влиянию на рассеивание суммы.