Алфавит, основание системы счисления

Афавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.(десятичная, двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная)

Формы записи чисел в позиционных системах счисления.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример. Десятичное число 4718,63 двоичное число 1001,1 восьмеричное число 7764,1

шестнадцатеричное число 3АF16

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим.

В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления

Пример Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10=4•103+7•102+1•101+8•100+6•10-1+3•10-2

Двоичное число А2=1001,1 А2=1•23+0•22+0•21+1•20+1•2-1

Восьмеричное число А8=7764,1 А8=7•83+7•82+6•81+4•80+1•8-1

Шестнадцатеричное число А16=3АF16 А16= 3•162+10•161+15•160

Перевод целых, дробных и смешанных чисел из 1 позиционной СС в другую.

При переводе целого числа (целой части числа) из одной системы счисления в другую исходное число (или целую часть) надо разделить на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Деление выполнять, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат перевода определяется остатками от деления: первый остаток дает младшую цифру результирующего числа, последнее частное от деления дает старшую цифру. При переводе правильной дроби из одной системы счисления в другую систему счисления дробь следует умножать на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Полученная после первого умножения целая часть является старшим разрядом результирующего числа. Умножение вести до тех пор пока произведение станет равным нулю или не будет получено требуемое число знаков после разделительной точки.

Например,

1) перевести дробное число 0.243 из десятичной системы счисления в двоичную.

0.243(10) ---> 0.0011111(2).

Проверка: 0.0011111 = 0*2^(-1) + 0*2^(-2)+1*2^(-3) +

1*2^(-4)+1*2^(-5) + +1*2^(-6)+1*2*(-7) = 0,2421875

2) перевести целое число 164 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

164(10) ---> 10100100(2)

Проверка: 10100100 = 1*2^7 + 0*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 +

0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 128+32+4=164

При переводе смешанных чисел целая и дробная части числа переводятся отдельно.