Основные свойства операции транспонирования матриц

1°. (AТ)Т = A.

Матрица, транспонированная дважды, остаётся неизменной.

2°. (A)Т = AТ.

Чтобы транспонировать матрицу, умноженную на число, можно снача- ла матрицу транспонировать, а потом умножить её на число.

3°. (A + B)Т = AТ + BТ.

Чтобы транспонировать сумму матриц, можно транспонировать каж- дую матрицу, а затем их сложить.

4°. (AB)Т = BТAТ.

Чтобы транспонировать произведение матриц, можно транспонировать каждую матрицу и умножить в обратном порядке, применив перемести- тельный закон.

Например, выражение (СВ – АС)Т означает, что выполняется действие в скобках, а затем результат транспонируется. Можно это выражение за- писать иначе: (СВ – АС)Т = (СВ)Т – (АС)Т = ВТСТ – СТАТ.

Задание: доказать свойства транспонирования матриц самостоятельно и проверить их на конкретных примерах.

 

 

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относятся:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3) перестановка местами двух любых строк (столбцов) матрицы;

4) транспонирование матрицы;

5) прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответ- ствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на одно и то же число.

Определение 1.17. Две матрицы называются эквивалентными, если од- на из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Записывается: А В.

С помощью элементарных преобразований в любой матрице можно изменить её элементы, в том числе их обнулить (обратить в нуль), чем часто пользуются для решения задач линейной алгебры.

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы, назовите элементы матрицы, найдите размер матрицы.

2. Дайте определение видам матриц: квадратная, диагональная, тре- угольная, нулевая, единичная, матрица-строка, матрица-столбец.

3. Какие матрицы являются равными?

4. Назовите линейные операции над матрицами.

5. Сформулируйте правило сложения матриц, правило умножения мат- рицы на число.

6. Что значит вычесть матрицы?

7. Чему равняется сумма матрицы с нулевой матрицей? Какое условие должно выполняться?

8. Чему равняется сумма противоположных матриц?

9. Как найти элементы матрицы С = А · В?

10. Какими свойствами обладают операции над матрицами?

11. Для всех ли операций выполняется коммутативное свойство? Почему?

12. Всегда ли произведение ненулевых матриц есть ненулевая матрица?

13. Если произведение двух матриц равняется нулевой матрице, то верно ли, что одна из них нулевая?

14. Правило и условия возведения матрицы в степень.

15. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования матриц.

16. Назовите элементарные преобразования матриц. Для чего они при- меняются?