Матрицы и действия над ними

Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов с m строками и n столбцами. Элемент находится на пересечении i- той строки и j -того столбца. Элементами матрицы могут служить числа, функции, матрицы и т.д.

Матрица называется квадратной, если m=n. Матрица называется нулевой, если все ее элементы нули. Например, нулевая матрица второго порядка, т.е. размера , имеет вид:

Квадратная матрица называется единичной, если на ее главной диагонали (с северо-запада на юго-восток) стоят единицы, а на остальных местах нули. Например, единичная матрица третьего порядка, т.е. размера , имеет вид:

Действия над матрицами:

1) сложение матриц

2) умножение матрицы на число

3) умножение матриц

4) обращение матрицы

Примеры:

1. Сложить матрицы

Решение.

 

2. Найти разность матриц

 

Решение.

 

3. Перемножить матрицы

Решение.

При перемножении двух матриц каждая стока левой матрицы скалярно умножается на каждый столбец правой матрицы. Скалярное умножение строки на столбец – это сумма произведений соответствующих элементов

 

 

4. Обратить матрицу

 

Решение. Обратить матрицу можно по схеме:

 

 

Сначала находим присоединенную матрицу , т.е. матрицу, состоящую из алгебраических дополнений каждого элемента исходной матрицы:

Затем эту матрицу необходимо транспонировать, т.е. строки заменить соответствующими столбцами:

Определитель исходной матрицы равен

 

Итак, обратная матрица равна

Проверка: