Исследование функций и построение графика функции с помощью производных

Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xo касательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.

 

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = x³/(x²+3)

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞, +∞).

в) Функция является нечетной, т.к. y(-x) = -y(x), т.е. график функции симметричен относительно начала координат.

г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b, где

 

k = /x и b =

В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:

k = , т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→ + ∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.

b = = = 0, при вычислении предела при x→ + ∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.

 

2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.

 

y´= [x²∙(9+x²)]/(x²+3)² -производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.

а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0, если x=0. Точек разрыва 1-я производная не имеет.

б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т.е. интервалы монотонности функции: при -∞<x≤0, производная положительна, следовательно, функция возрастает; при 0≤x<+∞, производная продолжает оставаться положительной, т.е. функция так же возрастает.

 

3. Исследование функции с помощью 2-ой производной.

Используя формулу дифференцирования частного и произведя алгебраические преобразования, полечим: y´´ = [6x∙(9-x²)]/(x²+3)³

а) Определяем нули 2-ой производной и интервалы знакопостоянства: y´´ = 0, если x=0 и x= + 3. Точек разрыва у 2-ой производной нет.

б) Определим интервалы закопостоянства 2-ой производной, т.е. интервалы выпуклости или вогнутости графика функции. При -∞ <x<-3 и при 0<x<3 вторая производная y´´>0, т.е. график функции вогнутый. При - 3<x<0 и при 3<x<+∞ вторая производная y´´<0, т.е. график функции выпуклый. Так как в точках x=0 и x= + 3 вторая производная равна нулю, а ее знак меняется, то эти точки являются точками перегиба графика функции (рис.4).

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений: (-∞,0)U(0,+∞).

б) Область изменения функции: (-∞,+∞).

в) Функция не является ни четной, ни нечетной.

г) Данная функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0.

д) Нахождение асимптот. Т.к. функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0, то следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Наклонных или горизонтальных асимптот данная функция не имеет.

2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Преобразуем функцию, произведя все алгебраические действия. В результате вид функции значительно упростится: y(x)=x²-x-1+(1/x). От суммы слагаемых очень просто брать производную и получим: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

а) Определяем нули и точки разрыва 1-ой производной. Приводим выражения для 1-ой производной к общему знаменателю и, приравняв числитель, а затем и знаменатель нулю, получим: y´=0 при x=1, y´ -не существуетпри x=0.

б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной. При -∞< x<0 и 0<x≤1 первая производная y´<0, следовательно, функция убывает. При 1≤ x<∞ первая производная y´>0, следовательно, функция возрастает. В точке x=1 первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Минимум пологий, т.к. при x=1 производная y´=0.

3. Исследование функции по 2-ой производной.

y´´= 2 + 2/x³. По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0 при x=-1, y´´- не существуетпри x=0.

При -∞ <x≤-1 и при 0<x<+∞, y´´>0 – график функции вогнутый. При -1≤ x<0 – график функции выпуклый. Т.к. в точке x=-1 вторая производная меняет знак с плюса на минус, то точка x=-1 – точка перегиба графика функции (рис.5).

 

рис. 4 рис. 5

 

 

Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = ln (x²+4x+5)

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента: логарифмическая функция существует только для аргументов строго больше нуля, следовательно, x²+4x+5>0 – это условие выполняется при всех значениях аргумента, т.е. О.Д.З. – (-∞, +∞).

б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln( (x+2)²+1) =0. Т.е. функция обращается в ноль при x=-2. График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.

в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.

г) Асимптот у графика функции нет.

2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.

б) Определяем интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞< x<-2 производная y´<0, следовательно, функция убывает;при -2<x<+∞ производная y´>0, следовательно, функция возрастает. Так как производная в точке x=-2 меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум (пологий).

3. Исследование функции по 2-ой производной.

Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0 при x=-3 и x=-1.

При -∞<x<-3 и при -1<x<+∞ вторая производная y´´<0, следовательно, график функции на этих интервалах выпуклый. При -3<x<-1 вторая производная y´´>0, следовательно, график функции на этом интервале – вогнутый. Точки x=-3 и x=-1 – точки перегиба графика функции, т.к. в этих точках происходит перемена знаки второй производной, а сама вторая производная обращается в ноль (рис.6).

 

Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²

1. Исследование функции.

а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).

б) Область изменения функции [0, +∞), при x=0, y=0.

в) Функция не является ни четной, ни нечетной.

г) Функция не является непрерывной, точка x=-2 – точка разрыва второго рода.

д) Вертикальная асимптота x=-2, горизонтальная асимптота y=1.

2. Исследование функции с помощью первой производной.

Используя формулу дифференцирования частного, получим y´= 4x/(x+2)³.

а) Определяем нули и точки разрыва производной: y´=0 при x=0, y´- не существует при x=-2.

б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной: при -∞< x<-2 и при 0≤x<+∞ первая производная y´>0, т.е. функция возрастает; при -2<x≤0 первая производная y´<0, т.е. функция убывает. Так как в точке x=0 первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке минимум (пологий, т.к. y´=0).

3. Исследование функции по второй производной.

Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´= (8-8x)/[(x+2)²]².

а) Определим нули и интервалы знакопостоянства второй производной. Т.к. знаменатель дроби всегда положителен, то знак второй производной полностью определяется числителем. При -∞ <x<-2 и при -2<x≤1 вторая производная y´´>0, следовательно, график функции на этих интервалах – вогнутый; при 1≤x<+∞ вторая производная y´´<0, следовательно, график функции на этом интервале имеет выпуклость. При переходе через точку x=1, знак второй производной меняется с плюса на минус, т.е. эта точка является точкой перегиба графика функции. При x→+∞ график функции асимптотически приближается к своей горизонтальной асимптоте y=1 снизу. При x→ -∞, график приближается к своей горизонтальной асимптоте сверху (рис.7).

рис. 6 рис.