101-110. Найти неопределённые интегралы.
101. а). ; б). ; в). .
102. а). ; б) ; в). .
103. а). ; б) ; в). .
104. а). ; б) ; в). .
105. а). ; б) ; в). .
106. а) ; б) ; в) .
107. а) ; б) ; в) .
108. а) ; б) ; в) .
109. а) ; б) ; в) .
110. а) ; б) ; в) .
Пример. Найти неопределённые интегралы.
а) ; б) ; в) .
а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:
б) пусть требуется найти интеграл вида , где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену , тогда . Получим . В найденном интеграле перейдем к прежней переменной , воспользовавшись равенством .
.
в) . Имеем интеграл вида . Применим формулу интегрирования по частям :
.
111-120. Вычислить определенные интегралы
111. а) ; б) в) .
112. а) ; б) ; в) .
113. а) ; б) в) .
114. а) ; б) в) .
115. а) ; б) в) .
116. а) ; б) в) .
117. а) ; б) ; в) .
118. а) ; б) в) .
119. а) ; б) в) .
120. а) ; б) в) .
Пример.
а) . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим этот интеграл:
|
|
б) . Вычислим этот интеграл, используя метод замены переменной:
в) . Применяя формулу интегрирования по частям получим:
121.-130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
121. , . 126.
122. , . 127.
123. , . 128.
124. , . 129.
125. , . 130.
Пример.
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру
Площадь фигуры, ограниченной снизу кривой , сверху – кривой , вычисляет интеграл , где и - абсциссы точек пересечения этих кривых, причем
Следовательно, имеем