Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и его использование для определения параметров СЛОУ.
Данный метод рассматривается на примере определения параметров функции потребления простой кейнсианской модели
Ct=α+β*yt + Ut (1)
{
yt=Ct+It (2)
Ct=α/(1-β) + β*It/(1-β) + Ut/(1-β)
α׳= α/(1-β) (3)
β׳=β/(1-β) (4) Ct=α׳+β׳*It+U׳t (5)
в уравнении (5) слева имеем только экзогенные переменные и к нему может быть применён стандартный МНК и найдены оценки α׳ и β׳
Используя эти оценки из уравнения (3) и (4) можно найти оценки
α= α׳/(1+ β׳) β= β׳/(1+ β׳) Это и есть КМНК
- исходная структурная система уравнений преобразуется в систему приведённых уравнений. Используя ее МНК находим несмещённые оценки коэффициентов приведённой системы уравнений.
- используя соотношение ((3), (4)) между коэффициентами приведённой системы уравнений и структурной системы уравнений находим коэффициенты структурной системы уравнений.
Если число коэффициентов приведённой системы уравнений равно числу коэффициентов исходной структурной системы уравнений, то система уравнений считается идентифицируемой.
|
|
Если число коэффициентов уравнений будет < числа коэффициентов структурной системы уравнений, то система уравнений является не идентифицируемой.
Если число коэффициентов приведённой системы уравнений > числа коэффициентов структурной системы уравнений, то в этом случае имеем сверх идентифицируемую систему уравнений. И эта система может быть несовместной.
При наличии ошибок измерения, если их причина заключается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от истинной объясняющей переменной в уравнении, то можно попытаться заменить её более подходящей переменой.
Для этой цели используем МИП, который заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая существенным образом отражала воздействие на Y исходной объясняющей переменной, но не коррелированна со случайной составляющей.
Таким образом в практике возникают 2 случая необходимости использования МИП.
- когда используемая объясняющая переменная может быть измерена с большими ошибками или вообще неизмерима и она заменяется другой объясняющей переменной.
- если объясняющая переменная но коррелирует существенным образом со случайной составляющей.
В обоих случаях необходимо найти замену исходной объясняющей переменной и новая переменная должна:
а) коррелировать существенным образом с заменяемой объяснительной переменной
б) не коррелировать со случайной составляющей
|
|
y=α+β*x+U В качестве исходной переменной – x, заменяемой z.
В этом случае величина β инструментальных переменных определяется
βип= cov(y;z) / cov(x;z)
При больших выборках βип=cov(y;z) / cov(x;z) = сov[(α+β*x+u);z] / cov(x;z) =
= ( cov(α;z) + cov(β-x;z) + cov(u;z) ) / cov(x;z) = β + ( cov(u;z) / cov(x;z) )
Для достаточно больших выборок cov(u;z) =>0 а cov (x;z), при условии, что x и z достаточно сильно коррелируют между собой, стремится к истинному значению.
Поэтому, чем выше корреляция между x и z тем выше будет совпадение оценок инструментальной переменой и обычного МНК.
Однако, если корреляция между x и z будет приближаться к 1 функциональной зависимости то есть опасность, что z начнёт коррелировать со случайной составляющей.