2018-03-09
88
Лабораторный практикум по теме
”Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка”
Уфа 2010
Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения и примеры вычисления типовых задач для выполнения лабораторной работы по теме «Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка».
Настоящее руководство предназначается для студентов всех специальностей дневной и вечерней форм обучения. Его целью является составление алгоритма для табулирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге – Кутта.
Данное руководство может быть рекомендовано студентам всех факультетов, использующим численные методы при решении дифференциальных уравнений.
Составители: Григорьева Т.В., доц., канд.пед.наук.
Мифтахова Г.М., доц.,канд.тех.наук.
|
|
|
Рецензент Каяшев А.И., д.т.н., профессор
©Уфимский государственный нефтяной технический университет,
2010
Методические указания
Математическое моделирование реальных явлений приводит к необходимости решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений не всегда удаётся выразить через элементарные функции. Поэтому зачастую приходится строить приближённые методы, которые в зависимости от вида решения аналитического или табличного разделяются на аналитические и численные.
Наиболее употребительным и доступным численным методом повышенной точности является метод Рунге-Кутта.
1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге – Кутта.
Многие технические задачи приводят к решению задачи Коши для уравнений, которые проинтегрировать в квадратурах либо сложно, либо вообще невозможно. Поэтому в инженерной практике прибегают к приближенному решению задачи Коши.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
y ' = f (x,y). (1)
Найти приближенное численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения (1) с начальным условием y(x0) = y0 – это значит составить таблицу приложенных значений частного решения y(x), удовлетворяющего заданному начальному условию.
Очевидно, что эту задачу можно решить только в том случае, когда решение y(x) существует и единственно, т.е. когда правая часть f (x, y) уравнения (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
|
|
|
Рис.1
1.1. Метод Эйлера. Сущность метода Эйлера состоит в следующем. На плоскости xOу рассмотрим интегральную кривую, соответствующую некоторому частному решению y(x) уравнения (1). Разобьем отрезок [ x0, b ] из области решений на n равных частей (рис.1). Пусть x0<x1<x2<…<xn=b - точки деления. Через эти точки проведем прямые, параллельные оси Оy.
Как известно, уравнение (1) определяет на плоскости xOy поле направлений, т.е. каждая интегральная кривая уравнения (1) в любой её точке имеет касательную с угловым коэффициентом, равным значению функции f в этой точке. Поэтому для приближенного построения интегральной кривой, соответствующей искомому частному решению, через начальную точку M0(x0,y0) проведем прямую с угловым коэффициентом f(x0,y0) до пересечения с прямой x=x1 . Тогда получим точку M1(x1,y1), ординату которой y1 можно определить из соотношения
y1– y0= f(x0,y0 )(x1 – x0 ). (2)
Далее, из точки M1(x1, y1) проведем прямую с угловым коэффициентом f(x1,y1) до пересечения с прямой x = x2. Получим точку M2(x2,y2), ординату которой y2 можно определить из соотношения
y2– y1= f(x1,y1 )(x2 – x1 ). (3)
Аналогично, зная координаты точки M2(x2,y2), определим координаты точки M3(x3,y3) и т.д. Таким образом, на каждом малом промежутке изменения переменной x интегральная кривая уравнения (1) заменяется отрезком прямой (касательной). В результате получим ломанную линию, называемую ломанной Эйлера, заменяющую приближенно интегральную кривую.
Ординату yk любой точки Mk(xk,yk) ломаной Эйлера можно определить из соотношения
yk – yk-1= f(xk-1,yk-1 )(xk – xk-1 ). (4)
аналогичного соотношениям (2) и (3). Так как отрезок [ x0,b ] разбит на равные части, то xk – xk-1 = h, где h – некоторое число. Тогда абсциссу xk точки Mk(xk,yk) можно вычислить по формуле
xk = x0 + kh, (5)
а соответствующее ей приближенное значение yk искомого частного решения – по формуле
yk = yk-1 + f(xk-1,yk-1 )h. (6)
Результаты заносим в таблицу. Постоянная h в соотношении (5) называется шагом таблицы.
Пример 1. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений частного решения уравнения y ' = 0,5xy, удовлетворяющего начальному условию y(0)=1, на отрезке [0,1] с шагом h=0,1.
Решение. Проверим выполнение на отрезке [0,1] условий теоремы существования и единственности: f(x,y) = 0,5xy, fy '= 0,5x; следовательно, область единственности решений D=R2. Согласно условию, имеем x0 =0, y0 =1, h= 0,1. По формулам (5) и (6) вычисляем значения x1 =0,1, y1 =1, затем – значения x2 и y2 и т.д. Результаты вычислений заносим в следующую таблицу 1:
| k | xk | yk | f(xk,yk) | f(xk,yk)h |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0,1 | 1 | 0,05 | 0,005 |
| 2 | 0,2 | 1,005 | 0,1005 | 0,0100 |
| 3 | 0,3 | 1,0150 | 0,1522 | 0,0152 |
| 4 | 0,4 | 1,0303 | 0,2061 | 0,0206 |
| 5 | 0,5 | 1,0509 | 0,2627 | 0,0263 |
| 6 | 0,6 | 1,0772 | 0,3232 | 0,0323 |
| 7 | 0,7 | 1,1095 | 0,3883 | 0,0388 |
| 8 | 0,8 | 1,1483 | 0,4593 | 0,0459 |
| 9 | 0,9 | 1,1942 | 0,5374 | 0,0537 |
| 10 | 1,0 | 1,2479 |
Пример 2. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений частного решения уравнения y ' =y2 - x2, удовлетворяющего начальному условию y(1)=1, на отрезке [1,2] с шагом h=0,1.
Решение. По заданным значениям x0 =1, y0 =1 из данного уравнения
y ' =y2 - x2 , находим y0 ' = 0 по формуле
yk = yk-1 + y´k-1 h, k=1,2,3,…n (*) вычисляем y1= y0 + y´0 h=1
|
|
|
Зная x1 и y1 из данного уравнения находим y´1 = -0,210 и поформуле (*) вычисляем y2= y1 + y´1 h=0,9790
Далее, исходя из значений x2 и y2 вычисляем y3= y2 + y´2 h, затем зная x3 и y3 вычисляем y4= y3 + y´3 h и т.д.
Результаты записываем в таблицу
| k | xk | yk | y´k | h y´k |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1,1 | 1 | -0,210 | -0,0210 |
| 2 | 1,2 | 0,9790 | -0,4816 | -0,0482 |
| 3 | 1,3 | 0,9308 | -0,8236 | -0,0824 |
| 4 | 1,4 | 0,8484 | -1,2402 | -0,1240 |
| 5 | 1,5 | 0,7244 | -1,7252 | -0,1725 |
| 6 | 1,6 | 0,5519 | -2,2554 | -0,2255 |
| 7 | 1,7 | 0,3264 | -2,7834 | -0,2783 |
| 8 | 1,8 | 0,0481 | -3,2377 | -0,3238 |
| 9 | 1,9 | -0,2757 | -3,5340 | -0,3534 |
| 10 | 2,0 | -3,8097 |
