2018-03-09
209 Теорема. Всякая правильная дробь 
может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей:
.
При этом простейшими рациональными дробями называют дроби вида: 
и 
, где 
, 
, 
.
Неизвестные постоянные 
находят методом неопределённых коэффициентов, включающий два равносильных способа: сравнения коэффициентов и способ частных значений. В зависимости от задачи эти способы можно применять как по отдельности, так и комбинировать. Разберём их непосредственно на примере.
Пример 7.18. Найти неопределённый интеграл 
, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби.
Решение. Выпишем подынтегральную дробно-рациональную функциюи представим её как сумму двух простейших дробей. Чтобы не мучиться с запоминанием формулы, приведённой в теореме в начале параграфа, можно запомнить простое правило: при разложении многочлен числителя дроби должен быть на порядок меньше многочлена её знаменателя:
.
Приводим правую часть равенства к общему знаменателю:
|
|
|
.
Так как знаменатели у обеих полученных рациональных дробей равны, для выполнения равенства должны быть равны и числители. Приравниваем их:
.
Неизвестные коэффициенты А, В и С находим способом частных значений, задаваясь значениями х и подставляя их в левую и правую части равенства:
Для нахождения неизвестных нам требуется решить систему уравнений:
Если для нахождения коэффициентов А, В и С использовать способ сравнения коэффициентов, то в исходном равенстве желательно раскрыть скобки:
.
Теперь выписываем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х:
Как видим, нам требуется решить более сложную систему уравнений, но результат вычислений полностью совпадает со сделанными ранее.
Итак, коэффициенты найдены, можем вернуться к интегралу:
.
Пример 7.19. Найти неопределённый интеграл 
, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби.
|
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, поэтому, сначала выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель, и уже затем разложим правильную дробь на простейшие.
Итак, мы пришли к интегралу:
.
Найдём оставшийся интеграл, разбив подынтегральную дробно-рациональную функцию на простейшие дроби. Их вид должен соответствовать простейшим сомножителям, на который можно разложить знаменатель (корни можно найти либо с помощью дискриминанта, либо по теореме Виета): 
. Следовательно, разложение подынтегральной рациональной дроби имеет вид:
.
Приравниваем числители:
.
Неизвестные коэффициенты А и В найдём способом частных значений, подставляя в левую и правую части равенства корни знаменателя 
и 
|
|
|
Переходим к интегралу:
.
Складывая результаты, окончательно получаем:
.
Пример 7.20. Найти неопределённый интеграл 
, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби.
Решение. Разложим подынтегральную дробно-рациональную функцию на простейшие дроби и приведём результат разложения к общему знаменателю:
.
Приравниваем числители:
.
Неизвестные коэффициенты А, В и С находим комбинированием способов частных значений (используя корни многочлена в знаменателе) и сравнения коэффициентов. Опустив подробную запись, получим:
Возвращаемся к заданному интегралу:
.
Найдём ещё один интеграл, который в дальнейшем будем использовать, как табличный, так как он довольно часто встречается при вычислениях.
Пример 7.21. Найти неопределённый интеграл 
, где а – некоторая постоянная.
Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и найдём неизвестные коэффициенты А и В:
.
Теперь находим сам интеграл:
.
Итак, окончательно получаем: 
.
7.22. Найти неопределённые интегралы разложением рациональных дробей на простейшие.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
;
е) 
; ж) 
; з) 
.
