2018-03-09
114
Как показано ранее, совокупность экспериментальных данных представляет собой так называемую выборку значений случайной величины, качество которой необходимо оценивать, как правило, для ответа на следующие вопросы:
- какова ошибка в определении среднего значения случайной величины (иногда ошибку необходимо устанавливать и для среднеквадратического отклонения)?
- как найти доверительный интервал для среднего значения или среднеквадратического отклонения в зависимости от принятого или заданного уровня вероятности попадания числовых значений случайной величины в указанный интервал?
- каким образом выполнять процедуру оценки соответствия результатов эксперимента и теоретических расчетов для оценки достоверности гипотезы?
- каково необходимое и достаточное количество опытов (испытаний) для получения выборки с заданными вероятностными характеристиками?
Перечисленные задачи относятся к типовым задачам теории вероятностей и математической статистики.
Ниже приводятся методы и примеры решения перечисленных задач.
|
|
|
Точность оценки параметра а в математической статистике дается доверительным интервалом, надежность оценки – доверительной вероятностью.
Пусть, для параметра a получена из опыта несмещенная оценка 
, требуется оценить возможную ошибку.
Зададим некоторую вероятность β (например, β = 0,9) и найдем такое значение Ɛ, для которого
или
, (5.5)
где а - неизвестный параметр, случайная величина; 
интервал.
Графическое представление задачи дано на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Оценка попадания случайной величины а в заданный
интервал
Т.к. положение 
на числовой оси зависит от случайной величины 
и длины интервала 2 
также величина случайная.
Вероятность β лучше толковать не как вероятность попадания точки a интервал , а как вероятностьтого, что случайный интервал 
накроет точку a.
Интервал – называется доверительным интервалом, а β – доверительной вероятностью или надежностью; другими словами β – доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу , есть вероятность того, что истинное значение параметра a лежит внутри этого интервала.
Доверительный интервал для математического ожидания.
Пусть сделано n независимых опытов над случайной величиной (СВ) X с неизвестным математическим ожиданием – mx и дисперсией - Dx . На основе опытных данных по результатам обработки данных выборки получены расчетом оценки для этих параметров - матожидания 
дисперсии 
и среднеквадратического отклонения 
. Эти выражения приведены ранее в формулах (5.1), (5.2) и (5.5)
|
|
|
.
Необходимо построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности β для математического ожидания СВ X, т.е. для mx.
Т.к. величина 
, являясь случайной величиной,есть сумма n независимых одинаково распределенных СВ Xi, то согласно центральной предельной теореме теории вероятностей ее закон распределения близок к нормальному.
Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, находим:
(5.6)
Т.к. величина 
– постоянная, то согласно свойству дисперсии (8,а), постоянная выносится за знак дисперсии в виде квадратного множителя, поэтому
; 
(5.7)
Найдем такую величину Ɛβ, для которой по аналогии с формулой (5.5)
β. (5.8)
Если считать, что закон распределения СВ 
близок к нормальному, то, как показано ранее, вероятность попадания в интервал 
можно выразить через известную функцию Лапласа [Вен]:
(5.9)
где Ф(x) – функция Лапласа, а 
рассчитывается по формуле (5.7).
Последнее соотношение вытекает их свойств нормального распределения случайной величины 
