Методические указания к выполнению практической работы

1. Повторите основные понятия и определения.

2. Рассмотрите примеры.

3. Повторите признаки сходимости – необходимый и достаточный.

4. Рассмотрите примеры

5. Выполните задания

 

Определение 1. Пусть задана числовая последовательность a_n, nЄN. Тогда выражение a₁+a₂+…+a_n+… (1)

называется числовым рядом и обозначается

Следовательно,

Числа a₁, a₂, … называются членами ряда (первым, вторым и т.д.), a_n – называется n-м или общим членом ряда.

Если будем последовательно складывать члены ряда S₁=a₁, S₂=a₁+ a₂, S₃=a₁+a₂+a₃, …, S_n=a₁+a₂+…+a_n, …, то S₁, S₂, …, S_n, … называются частичными суммами ряда.

 

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е.

Число S называется суммой ряда.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

 

Пример 1. Найти сумму ряда

Решение: n-я частичная сумма ряда

 

Ответ: S=1

 

Теорема 1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд с общим членом a_n сходится, то a_n →0 при n →∞, т. е.

 

Следствие. Если предел общего члена ряда при n →∞ не равен нулю, то ряд расходится

 

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Необходимы признак сходимости не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

Теорема 2. (признак сравнения) Пусть для ряда с положительными членами:

 причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т. е. при любом .

Тогда: 1) если сходится второй ряд, то и сходится первый;

2) если расходится первый ряд, то расходится и второй.

 

Примечание. Д ля сравнения часто используют «эталонные ряды»:

1. Геометрический ряд

Геометрический ряд сходится при  и расходится при  

2. Гармонический ряд

Гармонический ряд расходится.

3. Обобщенный гармонический ряд

Ряд сходится при  и расходится при

Пример 3. Сходится ли ряд?

Решение:

Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим (сходящимся)

Так как второй ряд сходит, то и первый ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение числового ряда.

2. Дайте определения частичных сумм ряда

3. Какой ряд называется сходящимся?

4. Назовите виды числовых рядов.

5. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

6. Сформулируйте достаточный признак сравнения