Нагрузки и напряжения в элементах передач

 

Нагрузка, возникающая в зоне контакта, может вызывать повреждение поверхности и (или) разрушения структуры материала, из которого изготовлен элемент. Ответственной за напряженно - деформированное состояние контактирующих поверхностей является сила F_n вблизи полюсной линии, которая вызывает контактные напряжения и напряжения изгиба.Равнодействующая F _n всех удельных сил, действующих по линии контакта в плоскости зацепления, действует по нормали к профилю зуба. Составляющая нормальной силы F _n, которая направлена по касательной к начальным поверхностям элементов зацепления, называется окружной силой F _t. Окружная сила присутствует во всех видах передач вращения.Составляющая нормальной силы F _n, которая направлена к центру вращения колес передачи называется радиальной силой F _r. Радиальная сила также присутствует во всех видах передач вращения.Составляющая нормальной силы F _n, которая направлена вдоль оси вращения элементов передачи, называется осевой силой F _х. Осевая сила присутствует во всех видах передач, кроме прямозубой цилиндрической. Схемы сил в передачах, где элементы, входящие в зацепление, имеют эвольвентный профиль показаны на рисунках 2.25 – 2.28. Схема сил, действующих в цилиндрической передаче показана на рисунке 2.26.

Рисунок 2.25 – Силы в зацеплении цилиндрических колес с эвольвентным профилем зуба

Окружная составляющая F _tw (Н) нормальной силы F _n (Н) на начальном цилиндре диаметром d _w(мм)

F _tw=2×10³× Т / d _w,(2.74)

где Т - вращающий момент, Н×м.

Радиальная составляющая F _r(Н) нормальной силы F _n(Н)

F _r= F _tw× tg a_tw,                                          (2.75)

где a_tw угол зацепления передачи в торцовом сечении.

Осевая составляющая F _х (Н)нормальной силы F _n(Н)

F _х = F _tw× tgb _w,                                              (2.76)

где b _w – угол наклона линии зуба на начальном цилиндре.

Нормальная сила F _n(Н) 

F _n =2× Т /(d × cos a_t× cosb _b) = F _tw/(cos a_tw× cosb _b),              (2.77)

где b _b – угол наклона линии зуба на основном цилиндре.

Схема сил, действующих в конической передаче с прямым зубом показана на рисунке 2.26.

Рисунок 2.26–Силы в зацеплении конических колес с эвольвентным

профилем зуба

 

Окружная составляющая F_tm (Н) нормальной силы F _n (Н) на среднем диаметре d_m (мм) равна

F_tm= 2×10³ ×Т_m / d _{w m}. (2.78)

Радиальная составляющая на среднем диаметре F_rm (Н) нормальной силы F _n(Н) равна

F_rm = F_tm ×(tg a_w× cos d), (2.79) 

где d - угол конусности.

Осевая составляющая на среднем диаметре F _{х m} (Н)нормальной

силы F _n(Н)

F _{х m} = F_tm × tg a_w× sin d.     (2.80)

Нормальная сила F _{n m} (Н) на среднем диаметре

F_nm =2× Т_m /× cos a_w.                       (2.81)

Схема сил, действующих в червячной передаче с цидиндрическим червяком показана на рисунке 2.27.

Рисунок 2.27 – Силы в зацеплении червячной передачи

 

Окружная составляющая F _t2 (Н) нормальной силы F _n (Н) на начальном диаметре колеса d _w2 (мм) равна осевой составляющей F _х1 (Н)нормальной силы F _n (Н) на начальномдиаметре червяка d _w1

F _t2= F _х1 =2×10³× Т ₂/ d _w2.                                     (2.82)

Окружная составляющая F _t1 (Н) нормальной силы F _n (Н) на начальном диаметре червяка d _w1 (мм) равна осевой составляющей F _х2 (Н)нормальной силы F _n (Н) на начальномдиаметре колеса d _w2

F _t1= F _х2 = F _t2× tg (g±j¢),           (2.83)

где g - угол подъема линии витков червяка; j¢ - угол трения.

Угол трения j¢вычисляют на основании зависимости

tgj¢= f / cos a_n¢= f ¢,          (2.84)

где a_n¢ - угол в нормальном сечении (tga_n¢= tga_х×соsg); f и f ¢ - коэффициенты трения.

Нормальная сила в зацеплении F _n (Н) 

F _n = F _t2 cos j¢/ cos a_n¢× cos (g±j¢).    (2.85)

Радиальная составляющая F_{r 1} (Н) нормальной силы F _n (Н) на начальном диаметре червяка d _w1 (мм) равна радиальной составляющей F_{r 2} (Н)нормальной силы F _n (Н) на начальномдиаметре колеса d _w2.

F_{r 1}= F_{r 2}= F _n× sin a _n¢ = F _t2× tg a _n¢ / соs g.                      (2.86)

Для установления величины усилий в зацеплении планетарных передач всех типов рассматривают равновесие каждого звена под действием внешних нагрузок

Рисунок 2.28 – Силы в планетарной зубчатой передаче:

a) – распределение усилий между колесами; б) – силы в зацеплении

(F ⁽¹⁾_gа, F ⁽²⁾_gа, F ⁽³⁾_gа–силы, действующие между сателлитом и центральным колесом а; F _gb – сила, действующая между сателлитом и центральным колесом b; Т _а, Т _h – моменты вращающие на центральном колесе и водиле соответственно; w _a, w _h – угловые скорости на центральном колесе и водиле соответственно; F _hg – сила, действующая между водилом и сателлитом)

 

Силы в зацеплении сателлита с центральным колесом рассчитывают с учетом коэффициента неравномерности нагрузки К _Н по наиболее нагруженному сателлиту. В расчетах опор сателлитов необходимо учитывать центробежную силу. Радиальные составляющие сил, действующих в передаче, которая имеет несколько сателлитов, не учитывают, т.к. они уравновешивают друг друга.

В трехсателлитной передаче (рисунок 2.28) вращающий момент Т _а на центральном колесе а уравновешивается силами F ⁽¹⁾_gа, F ⁽²⁾_gа, F ⁽³⁾_gа

Т _а= r_ba ×(F ⁽¹⁾_gа+ F ⁽²⁾_gа+ F ⁽³⁾_gа,                     (2.87)

где r _ba – радиус основной окружности центрального колеса.

В идеальной передаче силы равны и нормальная сила от сателлита F _gа

F _gа = Т _а/(r_ba ×n_w).          (2.88)

 Вслучае передачи с числом сателлитов n_w>3 неравномерность рас-пределения нагрузки исключить не удается и это учитывается умножением

силы F _gа на коэффициент неравномерного распределения нагрузки К _Н. Участие сателлита одновременно в двух зацеплениях приводит к тому, что одновенцовый сателлит не передает вращающий момент и находится в равновесии под действием сил F _аg, F _bg и F _hg со стороны колес a,b и водила h соответственно.

Учитывая, что углы зацепления a_w одинаковы, из уравнения равновесия получаем

F _hg =2× F _аg× К _Н× cos a_w.(2.89)

Сила F _hg необходима при расчете подшипника сателлита и оси водила. Нормальную силу F_n, приходящуюся на единицу длины контактной линии l, называют удельной нагрузкой

 w _m = F _n/ l.                     (2.90)

Рабочая нагрузка равна произведению удельной нагрузки на корректирующие коэффициенты (коэффициенты режиманагружения, неравномерности распределения нагрузки, динамического влияния и т.п.), которые устанавливаются в каждом конкретном случае с учетом принятых критериев работоспособности. В расчетах оценивают нагрузку, которая вызывает наибольшее опасное напряжение для данного вида повреждения.

Расчет нагрузок, изменяющихся во времени, может быть произведен по одному из нижеприведенных методов (ГОСТ 21354 – 87).

Метод эквивалентных циклов ориентирован на приведениепеременнойнагрузки к величинам, вызывающимнаибольшееповреждениеэлементовпередачи:

 - при расчете на контактную выносливость за исходнуюнагрузку Т _1Нпринимаютнаибольшую из подводимых к передаче, для которой число циклов перемены напряжений не менее 0,03× N _Нlim1; соответствующее этой нагрузке эквивалентное число циклов напряжений N _НЕ1

N _НЕ1 =m_Н× N _Нlim1 ,                                           (2.91)

где N _Нlim1 – базовое число циклов нагружений;m_Н – коэффициент, учитывающий характер циклограммы.

Для ступенчатой циклограммы m_Н равен

m_Н =å(Т _1i / Т _1Н)³(N _ci/ N _Нlim1).                      (2.92)

При плавном характере циклограммы величинаm_Н

m_Н =  .                    (2.93)

- при расчете на выносливость при изгибе за исходную расчетную нагрузку Т _1F (или Т _2F) принимают наибольшую длительно действующую с числом циклов перемены напряжений более 5×10⁴; соответствующее

этой нагрузке эквивалентное число циклов напряжений N _FЕ

N _FЕ =m_F× N _Flim,                                             (2.94)

 где m_F – коэффициент, учитывающий характер циклограммы       

m_F=å(Т _1i / Т _1F)^qF×(N _ci/ N _Нlim1),                      (2.95)                                                       

где q_F –показатель степени кривой выносливости при циклическом изгибе.

Метод эквивалентных моментов предусматривает, что эквивалентный момент учитывает значение и длительность всех уровней нагрузки:

- при расчете на контактную выносливость за исходную расчетную нагрузку Т_1Н (или Т_2Н) принимают эквивалентный момент                                                      

Т _НЕ = Т _max[å(T _i/ T _max)³×(N _ci / N _K)]^1/3.                    (2.96)

- при расчете на выносливость при изгибе за исходную расчетную нагрузку Т_1F (или Т _2F) принимают эквивалентный момент 

Т _FЕ = Т _max[å(T _i/ T _max)³×(N _ci / N _K)]^{1/ q F},           (2.97)

  Метод эквивалентных напряжений основан на определении расчетного напряжения для каждой ступени циклограммы:

- при расчете на контактную выносливость эквивалентное напряжениеs_НЕ определяют по формуле                                        

s _НЕ= К _НЕ× s _Н1,                                           (2.98)

где s _Н1 –расчетное напряжение соответствующее первой ступени циклограммы; К _НЕ - коэффициент эквивалентности, который равен:   

К _НЕ =[å(s _{Н i} / s _Н1)⁶×(N _{c i} / N _Нå)]^1/6 при s _{Н i} > s _Нlim;           (2.99)

К _НЕ =[å(s _{Н i} / s _Н1)²⁰×(N _{c i} / N _Нå)]^1/20 при s _{Н i} £ s _Нlim,        (2.100)

 где N _Нå – суммарное число циклов всех ступеней циклограммы; s _Нi – расчетное напряжение, соответствующее i -й ступени циклограммы (s _Нi³0,75× s _Нlim); N _{c i} – соответствующее этой ступени число циклов перемены напряжений (N _{c i} ³0,03 × N _Нlim);

-при расчете на выносливость при изгибе эквивалентное напряжение s _FЕ определяют по формуле                                        

s _FЕ= К _FЕ× s _F1,                                             (2.101)                                                             

где s _F1– расчетное напряжение соответствующее первой ступени цик-

лограммы; К _FЕ - коэффициент эквивалентности

К _FЕ =[å(s _{F i} / s _F1) ^{q F}×(N _{c i} / N _Få)]^{1/ q F},                (2.102)

 где N _Få - суммарное число циклов всех ступеней циклограммы, принятых в расчете на изгибную выносливость; s_{F i} - расчетное напряжение, соответствующее i -й ступени циклограммы; N _{c i} - соответствующееэтойступени число цикловперемены напряжений; q _F – показатель кривой выносливости.

Контактное напряжение s_Н (МПа) в полюсе зацепления равно

s_Н =s_Н0×(К _Н)^1/2,            (2.103)

где s_Н0–контактное напряжение без учета дополнительных нагрузок,МПа; К _Н – коэффициент неравномерности распределения нагрузки.

Коэффициент нагрузки К _Н

К _Н = К _А× К _Нv× К _Нb× К _Нa,                       (2.104)

где К _А – коэффициент, учитывающий внешнюю динамическую нагрузку;

К _Нv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку;

К _Нb – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; К _Нa – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями.

Величину контактного напряжения s_Н0 (МПа) в зависимости от: ок-ружного усилия F _t(Н) на делительном цилиндре в торцовом сечении,делительного диаметра d ₁(мм) ведущего элемента, рабочей ширины b_w(мм) венца контактирующих элементов и передаточного числа устанавливают по следующей зависимости

s_Н0=Z_E×Z_H×Z_e×Z_b×[ F _t×(u +1)/(b_w× d ₁× u)]^1/2,                  (2.105)

где Z_E– коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колес

Z_Е={E_пр/[p×(1– m²)]}^1/2;                              (2.106)

Z_H –коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе зацепления (влияние радиусов кривизны боковых поверхностей и переход от окружной силы на делительном цилиндре на нормальную на начальном цилиндре)

Z_Н=(1/ cos a_t)×(2× cosb _b / sin a_w)^1/2;                           (2.107)

 Z_e – коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий

Z_e=(1/ e _a)^1/2;                                             (2.108)

Z_b –коэффициент, учитывающий наклон зуба.

Допускаемое контактное напряжение s_НР (МПа) не вызывающее опасной контактной усталости материала при минимальном запасе прочности S_Hmin, 

s_НР =s_Нlim×Z_L×Z_R×Z_v×Z_w×Z_X/S_Hmin,                     (2.109)

где s_Нlim – предел контактной выносливости поверхностей зубьев, соответствующий эквивалентному числу циклов напряжений, МПа; Z_L – коэффициент, учитывающий влияние вязкости смазочного материала; Z_R – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости сопряженных поверхностей зубьев; Z_v– коэффициент, учитывающий влияние окружной скорости; Z_w – коэффициент, учитывающий влияние перепада твердо-

стей материалов сопряженных поверхностей зубьев; Z_X – коэффициент,

учитывающий размер зубчатого колеса.

Предел контактной выносливости s_Нlim (МПа) равен

s_Нlim=s_Нlimb×Z_N,                                         (2.110)

где s_Нlimb – предел контактной выносливости, соответствующий базовому числу циклов напряжений, МПа; Z_N – коэффициент долговечности. Коэффициент долговечности Z_N

Z_N=(N _Hlim/ N _К)^1/q,    (2.111)

где N _Hlim – базовое число циклов перемены напряжений, соответству-ющее пределу выносливости при контактных напряжениях; N _К–сум-марное число циклов напряжений за весь срок службы (при использовании метода эквивалентных циклов вместо N _К подставляют N _НЕ); q – показатель степени кривой выносливости при контактных напряжениях.

Допускаемое предельное контактное напряжение (s_НРmax), не вызывающее остаточной деформации или хрупкого разрушения поверхностного слоя

s_НPmax =s_НSt/ S _НStmin,                          (2.112)

где s_НSt – предельное контактное напряжение при действии максимальной(пиковой) нагрузки; S_НStmin – минимальный коэффициент запаса прочности по максимальным контактным нагрузкам.

Нагрузочная способность поверхности зубьев обеспечивается при выполнении любого из критериев:

 - критерия напряжений

s_Н£s_НP, (2.113)                                                        

s_Нmax£s_НРmax;                    (2.114)

- критерия безопасности

S_Н³S_Нmin, (2.115)

S_НSt³S_НStmin;         (2.116)

- критерияресурса

N_L³N_K,                                                   (2.117)

s_Нmax£s_НРmax;                                       (2.118)

- критериявероятностибезотказнойработы

Р _Н(N_L ³ N_K)³ Р _Нmin,                              (2.119)

Р _НSt(s_НSt³s_Нmax)³ Р _НStmin.                  (2.120)

В этих формулах S_Н – расчетныйкоэффициентзапасапрочности для предотвращения опасной контактной усталости; S_НSt – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения опасных разрушений поверхностного слоя при максимальной нагрузке; s_Нmax – максимальное контактное напряжение за весь срок службы; N_L – число циклов напряжений в соответствии с расчетным сроком службы; N_K – число циклов напряжений в соответствии с заданным сроком службы; Р _Н – вероятность безотказной работы в течении заданного срока службы; Р _Нmin – минимальное регламентированное значение Р _Н; Р _НSt – вероятность безотказной работы при расчете по максимальным контактным нагрузкам;

Р _НStmin – минимальное регламентированное значение Р _НSt.

Напряжение изгиба s_F (МПа) в опасном сечении на переходной поверхности контактирующих элементов в зависимости от окружной си-

лы F _t(Н) на делительном диаметре (в торцовом сечении), ширины b_w(мм)

венца зубчатого колеса и нормального модуля m _n устанавливаютпо

следующей формуле

s_F = F _t× K _F×Y_FS×Y_b×Y_e/(b_w× m _n),                           (2.121)

где Y_FS – коэффициент, учитывающий форму зуба и концентрацию напряжений (зависит от количества зубьев на колесе и величины смещения инструмента при нарезании зуба); Y_b – коэффициент, учитывающий влияние угла наклона зуба; Y_e – коэффициент, учитывающий влияния перекрытия зубьев; K _F – коэффициент нагрузки.

Коэффициент нагрузки

K _F = К _А× К _Fv× К _Fb× К _Fa,      (2.122)

где К _А – коэффициент, учитывающий внешнюю динамическую нагрузку; К _Fv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку; К _Fb – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий; К _Fa – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями.

Допускаемое напряжение изгиба s_FР (МПа) на переходной поверхности, не вызывающее усталостного разрушения материала при минимальном коэффициенте запаса прочности S_Fmin

s_FР =s_Flimb×Y_N×Y_R×Y_X×Y_d/S_Fmin,                             (2.123)

где s_Flimb– пределвыносливостизубьев при изгибе, МПа;Y_N – коэффициент долговечности; Y_R – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости переходной поверхности; Y_X – коэффициент, учитывающий размер колеса; Y_d –коэффициент, учитывающий чувствительность материала к концентрации напряжений и градиенту напряжений (опорный коэффициент).

Пределвыносливостизубьев при изгибеs_Flimb

s_Flimb=s⁰_Flimb× К,                                  (2.124)

где s⁰_Flimb – предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий базовому  числу циклов напряжений, МПа; К – коэффициент, учитывающий технологию изготовления, способ получения заготовки, влияние шлифования, деформационного упрочнения и реверсивность (при одностороннем приложении нагрузки К»1).

Коэффициент долговечности Y_N

Y_N=(N _Flim/ N _К)^1/q,                                     (2.125)

где N _Fhlim – базовое число циклов перемены напряжений, соответствующее пределу выносливости материала при изгибе; N _К – суммарное число циклов напряжений за весь срок службы (при использовании метода эквивалентных циклов вместо N _К подставляют N _FЕ).

Фактические значения контактных напряжений и напряжений изгиба не должны превышать допускаемых величин, что является основанием

для установления геометрических параметров передачи.

Проектный расчет закрытых передач ведут по допускаемым контактным напряжениям с последующей проверкой по напряжениям изгиба.Расчет открытых передач производят по допускаемым напряжениям с последующей проверкой по контактным напряжениям. Допускаемое напряжение изгиба в опасном сечении (s_Fрmax), не вызывающее остаточной деформации, хрупкого излома или первичных трещин равно

s_Fpmax=(s_FSt/S_Fstmin)×(Y_dSt/Y_dStT), (2.126)

где s_FSt – предельное напряжение изгиба при действии максимальной

нагрузке; S_Fstmin – минимальный коэффициент запаса прочности по максимальным нагрузкам; Y_dSt – опорный коэффициент при максимальной нагрузке; Y_dStT– опорный коэффициент испытываемого зубчатого колеса при максимальной нагрузке.

Нагрузочная способность зуба при изгибе обеспечивается при выполнении любого из критериев:

- критерия напряжений

s_F£s_FP,                               (2.127)

s_Fmax£s_Fрmax;                 (2.128)

- критерия безопасности

S_F³S_Fmin,                                            (2.129)

S_FSt³S_FStmin;                                  (2.130)

- критерия ресурса

N_L³ N_K,                                                  (2.131)

s_Fmax£s_FРmax;                                 (2.132)

- критерия вероятности безотказной работы

Р _F(N_L³N_K)³ Р _Fmin,  (2.133)                                      

Р _FSt(s_FSt³s_Fmax)³ Р _FStmin.   (2.134)

В этих формулах S_F–расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения усталостного разрушения материала;S_FSt – расчетный коэффициент запаса прочности для предотвращения опасных повреждений при максимальной нагрузке;s_Fmax – максимальное местное напряжение от изгиба в опасном сечении за весь срок службы; N_L – число циклов напряжений в соответствии с расчетным сроком службы; N_K – число циклов напряжений в соответствии с заданным сроком службы; Р _F– вероятность отсутствия повреждений в течении заданного срока службы; F _Нmin – минимальное регламентированное значение Р _F; Р _FSt – вероятность отсутствия хрупкого излома или остаточной деформации при максимальной нагрузке; Р _FStmin –минимальное регламентированное значение Р _FSt.