Действия с неравенствами

1) Неравенства одинакового знака можно почленно складывать.
или

2) Неравенства противоположных знаков можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание.
или

3) Неравенства одинаковых знаков с положительными членами можно почленно умножать.

4) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.

5) Верно обратное действию 4) утверждение

Числовые промежутки

Решение неравенств обозначают на координатной прямой.

Пусть a - некоторое число. Часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный (закрашенный) кружок)

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку

Аналогично, если x находится правее

Пример 1: Записать, используя обозначения числовых промежутков, множество точек заштрихованной части координатной прямой.

17/

18  Эквивалентные неравенства До сих пор мы рассматривали тождественные неравенства, то есть такие неравенства, которые выполняются (обращаются в числовые неравенства) при всех допустимых или специально указанных значениях входящих в них букв. К таким относятся, например, неравенства: а + 1 > а, а 2 > 0, Теперь мы переходим к изучению неравенств, которые выполняются не при всех, а лишь при некоторых (а может быть, и ни. при каких!) допустимых значениях букв. Примером такого неравенства может служить неравенство 2 х > 0. Оно выполняется при любых положительных значениях х, хотя допустимыми значениями х являются все числа, в том числе и отрицательные. Решить неравенство, содержащее неизвестную величину, — это значит найти все те значения этой неизвестной величины, при которых данное неравенство выполняется. Подобно решению уравнений, решение неравенств обычно проводится путем сведения их к более простым, эквивалентным (или равносильным) неравенствам. Два неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину, называются эквивалентными (или равносильными), если они выполняются при одних и тех же значениях этой величины. Примером эквивалентных неравенств могут служить неравенства 2 х > 0 и —3 х < 0, справедливые при всех положительных значениях х. Неравенства х > 0 и х 2 > 0 не эквивалентны, поскольку первое из них верно только при положительных значениях х, а второе — как при положительных, так и при отрицательных значениях х. Неравенства, каждое из которых не выполняется ни при каких значениях неизвестной величины, также считаются эквивалентными. Примером таких неравенств могут служить неравенства х 2 < — 1 и —(5 x 4 + 3) > 0.