Элементарные преобразования подынтегрального выражения

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 2

Учебное пособие

Для специальностей

Прикладная информатика в экономике»

Информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

2017

Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 447-1,2 и 437-1,2,3 весной 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.

Для удобства в пособии применяется сквозная нумерация задач. Материал за ту или иную дату можно определить по таблице для каждой группы отдельно. Задачи, которые были решены в классе со всеми 5-ю группами, нумеруются в общем списке, а задачи, которые в каких-либо группах успели решить в классе, а в каких-либо даны в качестве домашней работы, нумеруются Д1, Д2,... Некоторые из них здесь тоже набраны с решениями, некоторые нет.

Задачи, в которых есть комбинации различных тем или методов, и по объёмы не подходят для контрольных работ, могут попасть в билеты на экзамене, они помечены символом (Э).

Оглавление по темам

Интегралы Элементарные преобразования...................................................... Подведение под знак дифференциала............................................ Интегрирование по частям..............................................................

5 9 16

Таблица соответствия занятий и номеров задач

Неделя	437-1	437-2	437-3	447-1	447-2
1	14.02 1- 14	14.02 1- 14	15.02 1- 14 16.02 15- 27	15.02 1-13, Д1-2 15.02 14-20, Д3-9	13.02 1-13
2	21.02 15- 27	21.02 15- 27	-	20.02	22.02 22.02
3	28.02	28.02	02.03
4	07.03	07.03	09.03
5	14.03	14.03	16.03
6	21.03	21.03	23.03
7	28.03	28.03	30.03
8	04.04	04.04	06.04
9	11.04	11.04	13.04
10	18.04	18.04	20.04
11	25.04	25.04	27.04
12	02.05	02.05	04.05
13	-	-	11.05
14	16.05	16.05	18.05
15	23.05	23.05	25.05
16	30.05	30.05	01.06

Неопределённый интеграл.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Задача 1. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

= = = .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

= = = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить .

Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = . Теперь интеграл имеет вид и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

= = = =

= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

= = .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .